一类三阶拟线性微分方程非极端解存在性①

周 波，刘 琳，张菊红

(佳木斯大学理学院，黑龙江 佳木斯154007)

0 引 言

近年来，拟线性微分方程解的振动性、渐进性和非极端性等性质的研究逐渐深入.在文献［1 ～3］中，主要研究了四阶拟线性微分方程非振动解的存在性、渐进性和最终正解的存在性;文献［4］中主要研究高阶拟线性微分方程正解的存在性和渐进性.受文献［5］的启发，在文献［6］的基础上进一步研究形如

的三阶拟线性微分方程非极端解的充要条件.其中α，β ＞0;p(t)，q(t)在［a，+∞)上是正的连续函数且

1 预备知识

定义1 若u(t)是方程(1)的解，且u(t)＞0，t ∈［T，∞］⊂［a，∞］，则称u(t)是方程(1)的最终正解.

若u(t)是方程(1)的最终正解，则存在T ≥a，当t ≥T 时，u(t)＞0.由方程(1)有

所以可以得出u″(t)与u′(t)的符号.

引理1 若(2)式成立，u(t)是方程(1)的最终正解，则u″(t)＞0，t ∈［a，∞］.

引理2 若(2)式成立，u(t)是方程(1)的最终正解，则下面两种情况必成立其一:

定义2 若u(t)是方程(1)的一个最终正解，且存在c1＞0 和c2＞0，使得

则称u(t)是方程(1)的非极端解.

2 主要结果

定理 若p(t)是单调增函数，(2)式成立且α＜β.方程(1)有一非极端解的充要条件是

证 必要性 设u(t)为方程(1)的一个非极端正解，则u(t)满足(3)或(4)式.首先讨论u(t)满足(3)式.给出一个充分大的数T ＞a，使得u(t)＞0，u′(t)＞0，u″(t)＞0，p(t)|u″(t)|α-1u″(t)＞0，t ≥T

将方程(1)从t 到∞积分，有

将不等式T 从t 到积分，有

下面讨论u(t)满足(4)式，存在充分大的数T≥a，使得.

则存在常数k ＞0，使得u(t)≥k，则u(t)是有界函数且满足有

积分不等式两次

则

令I=［T，∞)⊂R，空间C［T，∞)是由［T，∞)的紧子区间上具有拓扑一致收敛性的所有连续函数u:I →R 构成的.定义C［T，∞)上的子集U.

U={u ∈C［T，∞):k ≤u(t)≤2k，t ≥T}集合U 是C［T，∞)上的闭凸子集，定义映射Ψ:U→C［T，∞)，

Ψ 满足下列条件:

(1)Ψ 是U 到U 的映射;

(2)Ψ 在U 上是连续的;

(3)ΨU 是相对紧的.

由Schauder－Tychonoff 不动点定理，知Ψ 存在一个不动点u(t):使得u(t)=(Ψu)(t)，t ≥T.u=u(t)∈U是方程(1)的一个满足=k，0 ＜k ＜∞的解，因此方程(1)有一非极端解u(t).

3 结 语

本文研究了一类三阶拟线性微分方程非极端解的存在性，其中利用微积分研究了非极端解存在的必要性，利用Schauder－Tychonoff 不动点定理研究了非极端解存在的充分性，得到了非极端解存在的充要条件.

［1］ Wu F.Nonoscillatory Solutions of fourth－order Quasilinear Differential Equations［J］.Funkcial Ekvac，2002，45:71－88.

［2］ Naito M，Wu F.On the Existence of Eventually Positive Solutions of Four－order Quasilinear Differential Equations［J］.Non－linear Analysis，2004，57:253－263.

［3］ Naito M，Wu F.A Note on the Existence and Asymptotic Behavior of Nonoscillatory Solutions of Fourth－order Quasilinear Differential Equations［J］.Acta Math.Hungar，2004，102(3):177－202.

［4］ Naito M.Existence and Asymptotic Behavior of Positive Solutions of Higer－order Quasilinear Ordinary Differential Equati－ns［J］.Math，Nachr，2006，279:198－216.

［5］ 汪金燕.The Asymptotic Behavior of Nonoscillatory Solutions of a Class of Third Order Quasilinear Differential Equation［D］.长春:东北师范大学，2006.

［6］ 周波，李春玲，宋丽艳，等.一类三阶拟线性微分方程(Ⅰ)型非极端解的必要条件［J］.佳木斯大学学报，2013，31(5):788－789.