差分方程的稳定性①

汪宏远，崔成贤，张志旭，曹万昌

(佳木斯大学理学院，黑龙江 佳木斯154007)

0 引 言

考虑差分方程组

其中

函数G(k，X(k))对k ∈Z+及相应的X(k)都有定义，保证方程组(1)的解存在唯一.

则方程组(1)就化为

所以方程组(1)的解φ(k)的稳定性等价于

零解的稳定性.

因此，不失一般性，总假设F(k，0)=0，并只研究方程组(2)的零解稳定性就够了.

差分方程组(2)的解Y(k)，在几何上可以表示为n 维向量空间Rn的点列，用‖Y(k)‖记Y(k)的范数.

若方程组⑵右边函数不显含k，即

则(3)式称为自治差分方程组;否则，(2)式称为非自治差分方程组.

1 自治线性差分方程组的稳定性

考虑常系数线性差分方程组

其中A 是n×n 阶常数矩阵.

定义1［1］设矩阵A 的特征根为λi(i=1，2，…，n)，则称为矩阵A 的谱半径.

定理1［2］差分方程组(4)的零解全局渐近稳定的充要条件是r(A)＜1.

定理2［2］差分方程组(4)的零解稳定的充要条件是r(A)≤1，且|λi|=1 的特征根只对应简单的初等因子.

定理3［3］若r(A)＞1，则差分方程组⑷的零解是不稳定的.

在上述这些稳定性定理中，验证关于谱半径的不等式一般比较困难，因此人们在不断寻找较容易验证的充要条件或充分条件.下面是其中著名的居利判据.

假设A 矩阵的特征多项式为

其中a0=1.

按如下来构造数表(共2n-3 行):

其中

这样继续下去，直到表中的同一行只有3 个元素为止.由上述数表就得到居利判据.

定理4［3］多项式P(λ)的所有零点都在复平面的单位圆内的充要条件是

2 自治非线性差分方程组的稳定性

考虑自治非线性差分方程组

其中F(0)=0，

2.1 代数方法

定义2 n×n 阶常数矩阵A(aij)称为非负矩阵，若aij≥0(i，j=1，2，…，n).

定理5［5］假设方程组(5)右边的函数F 在Rn中包含原点的某个开球B:‖Y‖＜H 内满足:对任意的X，Y ∈B，存在n×n 阶非负矩阵A，使得

则当

10r(A)＜1 时，方程组(5)的零解渐近稳定;

20r(A)=1 时，且对应矩阵A 的模为1 的特征根只有简单的初等因子时，方程组⑸的零解是稳定的.

特别地，若方程组⑸是纯量方程的情形

其中y(k)∈R1，f(y)∈R1，f(0)=0，则还有如下定理6:

定理6［5］假设函数f 在包含原点的某个开区间内有一阶连续导数.则当

1) |f′(y)|＜1 时，方程组(6)的零解渐近稳定;

2) |f(y)|＞1 时，方程组(6)的零解不稳定.

2.2 按线性近似部分决定稳定性

在某些情况下，非线性差分方程的稳定性可以用它的线性近似部分来决定.

假设方程(5)右边的向量函数F(u)可以表示成

其中A 是n×n 阶常数矩阵，而g(Y)满足

条件(7)和(8)意味着函数F(Y)在Y=0 是可微的.同样，如果函数F 在Y=0 有一阶连续偏导数，(7)和(8)式也必然成立.这时，矩阵A 是函数F 是Y=0 的雅可比矩阵

其中f1，f2，…，fn是F 的分量，并且所有的偏导数在原点取值.

定理7［5］设函数F 满足(7)和(8)式，则

1) r(A)＜1 时，方程组(5)的零解是渐近稳定的;

2)r(A)＞1时，方程组(5)的零解是不稳定的.

3 应用举例

例2

其中α，β 为任意常数.

解 方程组右边的函数在原点关于y1和y2有一阶连续偏导数，因此条件(7)和(8)式成立.而这个方程组的雅可比矩阵

注意到r(A)=0.7 ＜1.所以，方程组的零解是渐近稳定的.

［1］ Milne－Thomson L M.The calculus of finite differences［M］.New York:The Macmillan company，1951.

［2］ Laks mikanthan V，Trigiante D.Theory of difference equations;numericae methods and applications［M］.New York:Academic press，1988.

［3］ 廖晓昕，李玉鹏.离散动力系统稳定性的代数判据［J］.数学物理学报，1986(4):375－377.

［4］ 盖尔芳德AO.有限差计算:下册［M］.北京:高等教育出版社，1955.

［5］ 王联，王慕秋.常差分方程［M］.乌鲁木齐:新疆大学出版社，1991.