K－D 估计及其优良性研究①

杨 影，王志福，周一美，刘佳瑞，田俊杰

(渤海大学 数理学院，辽宁 锦州121013)

0 引 言

考虑线性模型［1］Y = Xβ +ε，E(ε)= 0，Cov(ε)=σ2I，设K=diag(k1，k2，k3，…，kp)，D=diag(d1，d2，d3，…，dp)，其中0 ＜di＜ki＜1，i=1，2，…，r，1 ≤r ≤p，称~β(K，D)= Φ1(Λ1+Kr)-1(Λ1+Dr)Φ1′^β 为K-D 估计.

设X′X 的顺序特征根为λ1，λ2，…，λp，对应的标准正交特征向量为φ1，φ2，…，φp，Φ =(φ1，φ2，…，φp)为p×p 标准正交阵Φ′Φ=I.

K－D 估计有如下性质:

(2)E［~β(K，D)］ = Φ1(Λ1+ Kr)-1(Λ1+Dr)Φ1′β，对于r ＜p，且0 ＜di＜ki＜1，K－D 估计是一个有偏估计.

(2)

由 于，K = diag(k1，k2，k3，…，kp) D =diag(d1，d2，d3，…，dp)，0 ＜di＜ki＜1，Φ1(Λ1+Kr)-1(Λ1+Dr)Φ1′β，~β(K，D)是有偏估计.

(3)

1 K－D 估计优于LS 估计

定理: 若0 ＜di＜ki＜1，则K－D 估计在均方误差矩阵意义优于LS 估计的充要条件为

证明:LS 估计的均方误差矩阵为

则

K－D 估计的均方误差矩阵为

其中Sr(K)=Λ1+Kr，Sr(D)=Λ1+Dr

所以

2 K－D 估计的可容许性

可知

则

又因为λ1≥λ2≥…≥λp，则即，由于K=diag(k1，k2，k3，…，kp)，D = diag(d1，d2，d3，…，dp)，其中0 ＜di＜ki＜1，i=1，2，…，r，1 ≤r ≤p，称)是β 的可容许估计.

3 K－D 估计的优良性推广

对于以上证明，对估计适当变换，还可以得到K-D 估计在均方误差矩阵下优于几类常见的有偏估计的充要条件.

(1)当0 ＜di＜ki＜1，K-D 计在均方误差矩阵下优于主成分估计的充要条件为Φ1′β=0.

(2)当0 ＜di＜ki＜1，K-D 计在均方误差矩阵下优于Liu 估计的充要条件为Φ2′β=0.

［1］ 陈希孺，王松桂，近代回归分析［M］.合肥:安徽教育出版社，1986.

［2］ 王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式［M］.北京:科学出版社，2006.

［3］ 王松桂，线性模型的理论及应用［M］.合肥:安徽教育出版社，1987.

［4］ 陈德英.线性模型中的LIU 型估计［D］.北京:北京交通大学，2008.

［5］ 邬吉波.线性模型参数估计若干性质研究［D］.重庆:重庆大学2013.

［6］ LIIU K.A NewClass of Biased Estimate in Linear Regression［J］.Commun Stat Theory Methods，1993，22:393－402.