改进的Winkler地基桩土相互作用模型①

唐剑华， 刘振兴

(1.同济大学土木工程学院地下建筑与工程系，上海 200092;2.岩土及地下工程教育部重点实验室(同济大学)，上海 200092)

0 引言

本文在传统的Winkler地基基础上，引进剪力基床系数Kz来考虑桩侧摩阻力，剪力基床系数通过半无限弹性体中的Mindlin解求得.从桩的弹性理论出发，考虑桩顶的集中荷载和桩侧摩阻力，通过对典型单元的受力分析推导桩的挠曲线微分方程，并采用差分法求解该微分方程.

1 基本假设及微分方程

1.1 基本假设

根据以上分析，为建立桩的挠曲线微分方程可作如下假设:

(1)桩及桩周土体均处于弹性工作状态.

图1 典型单元体示意图

(2)桩是柔性桩，桩身均匀，各截面相等.

(3)基于Winkler地基模型把桩视为弹性地基梁，且桩土之间的位移协调.

1.2 桩身挠曲线微分方程

如图1所示考虑长度为d z微分单元体，两端作用，两端作用有弯矩M、剪力H及轴力N，桩侧有土抗力q、侧摩阻力ps，单元体的横向位移为d u.

对图1典型单元体下端中点取矩有:

从图1以上数据可以看出，与全球系统重要性银行相比，当前四大行的资本充足率均低于G-SIBs平均资本充足率(16.32%)，四大行面临资本金的制约。资本充足率指标决定了商业银行必须转变发展方式，由原来的“信贷依赖症”、“粗放发展症”，向内涵式集约化追求质量和效益的方式转变。国际上大银行，通过较高的盈利能力留存补充资本，促进贷款投放，形成了资本的良性循环机制。虽然通过发行普通股等方式可以补充资本金，一定程度上缓解资本的压力，但仅仅依靠融资方式补充资本既受制于监管政策，又取决于资本市场的容量，因此，以RAROC为核心，通过改善资产结构、提升资本使用效率是解决问题的根本途径。

式中kh为桩侧土基床反力系数，单位为kN/m2，本文采用vesic[4]提出的方法来确定 .该方法的特点是将基床系数与桩的抗弯刚度、土体的弹性参数和土的泊松比联系起来[5].即:

式中:Es为土体的弹性模量，单位为kPa;v为土的泊松比;EpIp为桩的抗弯刚度，单位为kN·m2;d为桩的直径，单位为m.对于桩侧摩阻力Ps，可定义Ps=kzw，kz可定义为剪切基床系数，kz的单位为kPa，kz的确定方法将在下节详述.

1.3 边界条件的确定

对于顶端自由的桩，桩顶的横向集中力H，轴向力N，弯矩M.故有

对于桩端，除了刚性短桩以外，通常认为桩底的弯矩作用效应是可以忽略的[6，7].因此，桩端边界条件为

图2 桩侧表面的积分图形

2 基床系数的确定

如图2所示将桩等分成n段，根据polous[8]的思想，按照mindlin解答的基本思路可求出桩侧任意一点的剪力与沉降的关系.由图2可得第i个单元桩侧土的沉降:

式中:w是土体的沉降，h是单元i中点的纵坐标，ρI是位移系数，可由半无限弹性体中的Mindlin解给出，Es是土体的弹性模量.c是桩侧摩阻力所在单元的纵坐标.对(16)式运用积分第一中值定理并考虑到位移系数在c=h处的奇异性[8]，化简可得到(16)式.

式(17)中Ps(h)和Es(h)沿着桩身随着深度变化而变化.Iv(h)可由(18)式确定.

式(18)中的 ρI可由 Mindlin解[9]给出

式中 z1=h － c，z2=h+c，r=2R sin(θ/2)，

由(17)式可得

式(20)中kz(h)=Es(h)/d Iv(h)，经上述分析可得到剪力基床系数kz.

3 有限差分解

利用有限差分法，将微分方程(10)、(11)、

(12)、(15)离散得到代数方程.

式中δh=L/n，离散后的代数方程是非线性的代数方程组，可采用Newton－Raphson方法求解.

图3 桩顶作用水平力

图4 竖向基床系数分布图

4 算例验证

算例1:为说明计算方法的实用性，本文与Poulos的弹性理论法[8]对比，如图3所示，计算时桩长与直径比为L/d=25，桩的柔度系数为kR=EpIp/EsL4，土的泊松比 v为0.5，桩顶自由，桩顶作用水平力.本文方法与Poulos的分析一致，在桩身刚度较小的时候，本文方法得到的桩身弯矩.

由本文方法可得到剪力基床系数Kz随深度的分布.图4是竖向基床系数Kz的分布图.从桩顶到桩身，Kz呈非线性的分布，随着深度的增加，Kz先减小，后逐渐增大，且在靠近桩端的部分，Kz增加的较快.此外，由图4还可知道，随着泊忪比v的增大，剪力基床系数减小，但泊忪比v对剪力基床系数的影响较小.

图5 桩身弯矩

图6 桩身水平位移

算例2:计算参数如下:取桩长与直径比 L/d=25，土的泊松比v=0.25，桩土弹性模量比Ep/Es=1000，桩顶作用的水平力和轴力分别为H=πGsd2，N=0.2H，0.5H，H，Gs为土体的剪切模量.

从图5中可以看出本文方法得到的弯矩比polous得到的弯矩偏大，这是因为本文考虑了侧摩阻力的影响.从图5中还可知道，轴向荷载对桩身弯矩的影响主要集中在桩身上部Z/L=0～0.4的范围内.Z/L约等于0.2处，弯矩取得最大之.随着N/H的增大，最大弯矩逐渐增大.当N=0.5H时，最大弯矩增加10.4%;当N=H时，最大弯矩增大32.8%.

从图6中可看出，当N/H的值较小的时候，N/H的值对桩身挠度的影响较小.当N/H的值较大的时候，随着N/H的增大，p－Δ效应显著，桩身挠度显著增大.桩身的侧向挠度主要集中在Z/L=0～0.6范围内.

5 结语

本文在传统的Winkler地基基础上，引进竖向基床系数Kz来考虑桩侧摩阻力，并得到了竖向基床系数随深度的分布图.随着深度的增加，竖向基床系数显著地增大.本文在引进竖向基床系数的基础上，计算表明，忽略侧摩阻力会使桩身弯矩偏小，在设计中会带来潜在的风险.

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