一类非线性四阶抛物方程周期解的存在性

梁波,吴晓琴,张振宇

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)*

0 引言

晶体是由物质的质点在空间中作有规律的排列而形成的物质. 晶体按照不同性质可分为离子、原子、分子、金属等四大典型类别.由于晶体内部结构中的质点的运动, 从而形成了一定形式的晶格, 外表上为具有一定形状的几何多面体.

由于各种不同的原因, 晶体原子在不同程度上会发生扩散, 导致晶体结构发生变化. 晶体中原子发生扩散是由原子所作的无规则的布朗运动所引起的. 并且, 原子在扩散过程中遵循一定的宏观扩散规律, 从而产生了扩散方程 :

ut=-jx+f(x,t)

于(0,1)×R.

文中，将其进行改进得到所要讨论的四阶抛物方程

于(0,1)×R, (1)

u(x,t+ω)=u(x,t),x∈(0,1),t∈R

(2)

ux|x=0,1=uxxx|x=0,1=0,t∈R,

(3)

定理假定f∈Cω(R；H2(0，1))，ft∈Cω(R;L2(0，1)),问题(1)～(3)存在广义时间周期解

(4)

(5)

此定理为本文主要结论，下面将利用近似解估计给出证明.

1 近似解估计

令{yj(x)}(j=1,2,…)是L2(0，1)中的标准正交基，并且满足特征值问题

y″+λy=0,y′(0)=y′(1)=0

其中λj(j=1,2,…)为特征值.

uNj(t)∈C1(ω,R)(j=1,2,…,N),

N是一个正常数. 由Galerkin方法，可知uN(x,t)在(0，1)×R满足方程

在应用Leray-Schauder不动点定理证明uN(x,t)是问题(6)～(8)的解时，考虑以下含参数θ(0≤θ≤1)的偏微分方程的时间周期解：

(9)

其中,θ∈[0,1],uN∈(0,1)×R. 依据线性方程理论，方程(9)存在唯一的解vN∈C1(ω,R).

从而定义映射：

T:[0，1]×C(ω,R)→C(ω，R),

(θ，vN)→vN.

显然，对任意的vN∈C1(ω,R)，都可以满足T(0，vN)=0.而对vN∈C1(ω,R)，满足T(θ，vN)=vN.

引理1映射

T:[0,1]×C(ω，R)→C(ω,R)

是紧映射.

证明：令

且存在常数M>0使得

‖vk‖C(ω,R)≤M,∀k>0

若uk=T(θk,vk) ，那么，根据Schauder理论(见文献[4])可知uk∈C1(ω，R)且满足

从而由Arzela-Ascoli定理知，uk在C(ω,R)中是收敛的.故映射T是紧的.

引理2假定f∈Cω(R;L2(0,1))，令

则问题(6)～(8)存在近似解uN，且有估计

(10)

其中,C0是不受N、M1的正常数.

证明：通过Poincare＇和Hölder不等式，可得

(11)

对于式(9)以uN为检验函数，在(0,1)上积分，由Hölder不等式可得

‖uNx‖2+C‖uN‖2+2‖f‖2

其中,0<δ<1. 从而有

(12)

由式(12)得

(13)

根据积分中值定理，存在t1∈(0,ω)，使得

联合式(11)可得

(14)

将式(12)在[t1,t+ω](∀t∈[0,ω])上积分，由式(13)有

其中,C0是不受N，M1约束的正常数.

由引理1和引理2的证明，依据Leray-Schauder不动点定理可知，当θ=1时，式(9)的解uN是式(6) ～(8)的解.

引理3假定

f∈Cω(R;H2(0,1)),ft∈Cω(R;L2(0,1))

(15)

证明：对于式(6)，以-uNxx为检验函数在(0,1)上积分可得

其中,0<δ<1.

由Hölder不等式可得

(16)

通过Gagliardo-Nirenberg不等式, 式(10)以及M1

将其代入式(16)，应用Young不等式, 得

(17)

由式(17)，应用积分中值定理，存在t2∈(0,ω)，使

‖uNxxx(·,t2)‖2≤C4(M2).

从而得到

再由式(17)可有

通过Sobolev嵌入定理，有

(18)

对于式(6)，以uNxxxxxxxx为检验函数，并且在(0,1)上将其积分可获得估计

‖uNxxx(·,t)‖C[0,1]≤C‖uN‖H4≤C9(M2)

(19)

由式(6), 对任意的uN∈(0,1)×R有

(20)

对于式(20), 以uNxxxxt为检验函数, 并在(0,1)上积分，可得估计

‖uNxt(·,t)‖C[0,1]≤C‖uNt‖H2≤C10(M2)

(21)

联合式(19)和式(21)得到

2 结论证明

通过上一小节引理给出的近似解的估计及证明，该部分借助以上估计对第一部分中的定理作出证明.

证明：通过式(15)和嵌入定理，有以下估计式

(22)

依据Arzela-Ascoli定理和式(22)可得，存在一个函数u(x，t)和{uN(x,t)}的子序列(仍记为{uN(x,t)})，当N→+∞时，{uN(x，t)}、{uNx(x,t)}在[0，ω]×(0,1)中分别一致收敛于u(x，t)、ux(x,t).

定义

综上可知，问题(1)～(3)存在广义时间周期解，并且满足式(4)和(5).