Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性及亚正规性

刘朝美，倪维丹(大连交通大学理学院，辽宁大连116028)*

Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性及亚正规性

刘朝美，倪维丹
(大连交通大学理学院，辽宁大连116028)*

对单位圆盘的Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性及亚正规性展开了研究，得到了带有调和多项式符号的斜Toeplitz算子是正规的或亚正规的充要条件是其符号函数为零函数.

Bergman空间;斜Toeplitz算子;正规性;亚正规性

0 引言

1996年，Mark引进了Hardy空间上斜Toeplitz算子的概念［1］，介绍了该类算子的背景，讨论了该类算子的若干性质.他对该类算子的谱等性质也展开了深入的讨论［2-4］.Arora和Batra通过对斜Toeplitz算子定义的推广，得到k阶斜Toeplitz算子的概念，并对该类算子的性质展开了一系列的讨论［5-7］.

2004年，安恒斌和蹇人宜将斜Toeplitz算子的定义推广到了单位圆盘的Bergman空间上，并对该类算子的有界性、紧性等性质展开了研究［8］.既然可以将Hardy空间上的斜Toeplitz算子推广为k阶斜Toeplitz算子，那么人们自然会想到将Bergman空间上斜Toeplitz算子的概念进行推广.2007年，Yang、Leng和Lu给出了Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的概念，并对该类算子的谱、交换性等性质展开了研究［9］.

此后，人们又对该类算子的交换性、有界性等性质展开了研究，得到了一些结论［10-11］.

对函数空间上斜Toeplitz算子的性质进行研究时，人们总是希望能够将该类算子的性质由其符号函数给出刻画.本文对单位圆盘的Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的性质展开了研究，得到了带有调和多项式符号的k阶斜Toeplitz算子是正规的或亚正规的充要条件是其符号函数为零函数.

1 基本概念

设C表示复平面，D = { z∈C: | z |＜1}为C上的单位开圆盘.用dA表示D的规范化面积测度，即.L2( D)表示在D上平方可积的可测函数全体构成的Hilbert空间.设Bergman空间A2( D)为L2( D)中所有解析函数构成的Hilbert空间，其一组正交基为{ zn: n∈Z+} ( Z+为非负整数集).设L∞( D)表示D上本性有界复可测函数全体构成的Banach空间，其上的范数为

设k≥2是固定的正整数，定义在A2( D)上的算子Wk［9］为

且Wk是A2( D)上的有界线性算子，且共轭算子，其中n∈Z+.

设φ∈L∞( D)，Bergman空间A2( D)上以函数φ为符号的k阶斜Toeplitz算子Bφ定义为Bφ= WkTφ，其中Tφ是A2( D)上以函数φ为符号的Toeplitz算子［9］.而且A2( D)上以本性有界函数为符号的k阶斜Toeplitz算子均是有界线性算子［9］.

2 k阶斜Toeplitz算子的正规性

本节将对Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性展开讨论.利用函数的性质可得以下引理.

引理1设k，s，t，q∈Z+，r = s + t + q＞0，若定义在实数域R上的函数h( x)和g( y)为

Hilbert空间上有界线性算子A是正规的，若AA*= A*A.现在讨论Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性.

证明 若φ= 0，则显然可得Bφ是正规的.若Bφ是正规的，则，从而对任意的非负整数n

既然m1，m2均为非负整数，不妨设m1= sk + q1，m2= tk + q2，其中s，t，q1，q2∈Z+且q1＜k，q2＜k.由于式( 1)中n的任意性，不妨取n = ( s + t + q) k≥0，q = max{ q1，q2}，从而可得

故由式( 1)知可得

于是由引理1和式(2)可得a0= a1=…= am1= b1= b2=…= bm2= 0，即φ= 0.定理1结论成立.

3 k阶斜Toeplitz算子的亚正规性

在本节中我们将对Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的亚正规性展开讨论，得到以下结论.Hilbert空间上有界线性算子A是亚正规的，若A*A≥AA*.

证明 若φ= 0，则显然可得Bφ是亚正规的.若Bφ是亚正规的，则对任意的f∈A2( D)有

既然m1，m2均为非负整数，不妨设m1= sk + q1，m2= tk + q2，其中s，t，q1，q2∈Z+且q1＜k，q2＜k.由f的任意性，不妨取f = z( s+t+q) k，其中q = max{ q1，q2}，于是可得

由不等式( 3)可得

既然对任意的l∈［0，sk + q］，

1;且对任意的l∈［0，sk + q2］，

故可得

从而可得a0= a1=…= am1= b1= b2=…= bm2= 0，即φ= 0.命题成立.

［1］MARK C HO.Properties of slant Toeplitz operators［J］.Indiana Univ.Math.J.，1996，45( 3) : 843-862.

［2］MARK C HO.Spectra of slant Toeplitz operators with continuous symbol［J］.Michigan Mathematical Journal，1997，44( 1) : 157-166.

［3］MARK C HO.Adjoints of slant Toeplitz operators［J］.Integral Equations and Operator Theory，1997，29( 3) : 301-312.

［4］MARK C HO.Adjoints of slant Toeplitz operators II［J］.Integral Equations and Operator Theory，2001，41 ( 2) : 179-188.

［5］ARORA S C，BATRA R.On generalized slant Toeplitz operators［J］.Indian J.Math.，2003，45( 2) : 121-134.

［6］ARORA S C，BATRA R.On generalized slant Toeplitz operators with continuous symbols［J］.Yokohama Mathematical Journal，2004，51: 1-9.

［7］ARORA S C，BATRA R.Generalized slant Toeplitz operators on H2［J］.Math.Nachr.，2005，278( 4) : 347-355.

［8］安恒斌，蹇人宜.Bergman空间上的斜Toeplitz算子［J］.数学学报，2004，47( 1) : 103-110.

［9］JUN YANG，AIPING LENG，YUFENG LU.K-order slant Toeplitz operators on the Bergman Space［J］.Northeast.Math.J.，2007，23( 5) : 403-412.

［10］YUFENG LU，CHAOMEI LIU，JUN YANG.Commutativity of kth-order Slant Toeplitz operators［J］.Mathematische Nachrichten，2010，283( 3) : 1304-1313.

［11］CHAOMEI LIU，YUFENG LU.Product and Commutativity of kth-order Slant Toeplitz Operators［J］.Abstract and Applied Analysis，2013，45( 2) : 900-914.

Normality and Hyponormality of k-Order Slant Toeplitz Operators on Bergman Space

LIU Chaomei，NI Weidan
( School of Mathematics and Physics，Dalian Jiaotong University，Dalian 116028，China)

The normality and hyponormality of k -order slant Toeplitz operator on the Bergman space are discussed，and obtaining that the necessary and sufficient condition for the normality and hyponormality of k -order slant Toeplitz operator with harmonic polynomial symbol is that its symbol function are zero.

bergman Space; slant Toeplitz operators; normality; hyponormality

A

1673-9590( 2016) 01-0113-04

2015-05-07

国家自然科学基金资助项目( 11301046，11226120)

刘朝美( 1980－)，女，副教授，博士，主要从事函数空间及其算子理论的研究

E-mail: lcm@ djtu.edu.cn.