三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性

王国灿,李莉

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)



三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性

王国灿,李莉

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)

用Volterra型积分算子和微分不等式技巧，研究了某一类三阶微分方程非线性三点边值问题，得到了解的存在性与唯一性，此外，在适当的条件下，通过构造具体的上下解，刻划了方法的应用性.

三阶微分方程；非线性三点边值问题；存在性与唯一性；微分不等式

0 引言

三阶非线性常微分方程三点边值问题在工程物理中有着十分重要的应用，文献[1]～[4]及其参考论文已作过一系列研究，以往的工作主要局限于特殊的两点与Robin边值问题，对于解的唯一性的研究相对较少.本文利用微分不等式理论，考虑以下三阶非线性三点边值问题

得到了解的存在性和唯一性.

1 辅助引理

考虑一类二阶Volterra型积分微分方程的非线性边值问题

定义1 如果存在函数β(t)和α(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤β(t)，β″(t)≤f(t,[Tβ](t),β′(t))，α″(t)≥f(t,[Tα](t),α′(t))，则称β(t)和α(t)为方程(3)的上下解.

引理1 假设

(1)f(t,v,u)∈C([-1,1]×R2)，且在[-1,0]上关于v单调不减，在[0,1]上关于v单调不增；

证明：利用文献[3]定理4的方法可知结论成立.

引理2 假设

(1)引理1中的(1)条件成立；

(2)g(ξ,η)∈C(R2)，且g(ξ,η)对固定的ξ关于η单调不减.

(3)方程(3)有上解β(t)和下解α(t)满足

g(α(-1),α′(-1))≥0,g(β(-1),

则边值问题(3)，(4)有解u(t)，使得，-1≤t≤1.

再考虑α(-1)<β(-1)时的情形.

由引理1知边值问题

如果上式等式成立，则α0(t)便是(3)，(4)的解.否则考虑边值问题

从引理1可得其解存在，又任取一个记为u(t)，则α0(t)≤u(t)≤β0(t),-1≤t≤1，如果g(u(-1),u′(-1))=0，则定理得证；如果g(u(-1),u′(-1))>0，则取α1(t)=u(t),β1(t)=β0(t)；如果g(u(-1),u′(-1))<0，则取α1(t)=α0(t),β(t)=u(t)，于是

显然问题有解，同理任取一个记为u(t)，与α1(t),β1(t)的类似选取可得α2(t),β2(t)满足

α1(t)≤α2(t)≤β2(t)≤β1(t),-1≤t≤1

于是利用数学归纳法可得两个序列{αn(t)}1∞，{βn(t)}1∞满足

故存在一致收敛的子序列{βnj(t)},{αni(t)}使得

-1≤t≤1,j→∞

-1≤t≤1,i→∞

引理3 假设

则边值问题

只有零解.

显然，M0∉D，于是存在t1∈[-1,1]，使得

2 主要结果

下面我们来讨论边值问题(1)，(2)解的存在性与唯一性.

定义2 如果存在函数β(t)和α(t)∈C3[-1,1]，使得当-1≤t≤1时，α′(t)≤β′(t),β‴(t)≤f(t,β(t),β′(t)),α‴(t)≥f(t,α(t),α′(t))，且当-1≤t≤0时，β(t)≤α(t)，当0≤t≤1时，α(t)≤β(t)，则称β(t)和α(t)为方程(1)的上下解.

定理1 假设

(1)f(t,x,x′)∈C([-1,1]×R2)，且当-1≤t≤0时，关于x单调不减；当0≤t≤1时，关于x单调不增；

(2)引理2中的条件(2)成立；

(3)方程(1)存在上下解β(t)和α(t)，且

β(0)=A=α(0),α′(1)≤B≤β′(1),g(α′(-1),

α″(-1))≥0,g(β′(-1),β″(-1))≤0

则边值问题(1)，(2)有一解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0,α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

又注意到表达式

定理2 假设

(1)定理1中的条件(1)，(2)成立;

(2)存在函数β(t)∈C3[-1,1]，使当-1≤t≤1时0<β′(t),0<β″(t),β‴(t)≤fx′(t,x,x′,x″)β′(t)+fx(t,x,x′,x″)β(t)，且当-1≤t≤0时，β(t)≤0，当0≤t≤1时，0≤β(t);

(3)对任意ξ,η∈(-∞,+∞)，满足gξ(ξ,η)β′(-1)+gη(ξ,η)β″(-1)<0,则边值问题(1)，(2)至多存在一解.

证明 如果边值问题(1)、(2)有两个不同解x1(t),x2(t)，记y(t)=x2(t)-x1(t)，则y(t)应满足下述边值

y‴=a(t)y′+b(t)y

y(0)=0,ay′(-1)+by″(-1)=0,y′(1)=0

定理3 假设

(1)函数f(t,x,x′)及其关于t,x,x′的一阶偏微商在闭区域Ω={((t,x,x′)|-1≤t≤1,-∞

(2)当(t,x,x′)∈Ω时，fx′(t,x,x′)≥m>0，当-1≤t≤0时，fx(t,x,x′)≥0，当0≤t≤1时，fx(t,x,x′)≤0，且|fx(t,x,x′)|≤l;

(3)函数g(ξ,η)在R2上连续可微，，且g(0,0)=0.

则边值问题(1)，(2)有且仅有唯一解.

证明 构造上下解分别为

|β(t)|).

余下的工作只需逐步验证β(t),α(t)满足定理1的条件即得存在性.

[1]王国灿.某一类三阶非线性两点边值问题的解的存在性与唯一性[J].应用数学学报， 1997，20(4):631-634.

[2]沈建和，余赞平，周哲彦.非线性三阶常微分方程的非线性三点阶的存在性[J].纯粹数学与应用数学，2007，23(3):355-360.

[3]周钦德，苗树梅.Volterra型积分微分方程的奇摄动[J].高校应用数学学报，1998,3(3):392-400.

[4]葛渭高.三阶常微分方程的两点边值问题[J].高校应用数学学报，1997，12(3):265-271.

[5]BERNFELDSR,LASHMIKANTHANV.Anintroductiontononlinearvalueproblems[M].NewYork:AcademicPress,1974.

Existence and Uniqueness of Nonlinear Three-Point Boundary Value Problem for Third Order Equation

WANG Guocan,LI Li

(School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

Nonlinear three-point boundary value problems for a class of third order differential equations is studied by Volterra type operator and differential inequality,and the existence and uniqueness of solution are obtained.The result shows the feasibity that by constructing upper and lower solutions based on suit condition.

third order nonlinear equation;three-point boundary value problem;existence;differential inequality

1673-9590(2015)03-0109-04

2014-08-05

王国灿(1963-),男，教授,硕士，主要从事常微分方程边值问题的研究E-mail:wanggc@dl.cn.

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