多元再生核径向基函数研究

张继红,郑俊生

(1.大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028；2.大连东软信息学院 计算机科学与技术，辽宁 大连 116023)

多元再生核径向基函数研究

张继红1,郑俊生2

(1.大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028；2.大连东软信息学院 计算机科学与技术，辽宁 大连 116023)

通过研究多元再生核函数插值，发现再生核函数是一个径向基函数，在对再生核函数进行多元插值的时候，可以直接进行径向基插值，而不必像以往一样只能进行张量积展开. 径向基插值方法简单，易于计算机实现，计算精度高. 通过数值实验，直接进行插值比张量积精度要高，同时在与其他多元函数插值进行比较后，获得了理想的结果.

再生核；径向基；多元插值

0 引言

由于再生核空间在数值计算方面的优点，引起了国内外学者的广泛关注.1970年 Larkin给出了具有再生核的Hilbert函数空间的最佳逼近规则. 1974年，Chawla给出了具有再生核的Hilbert函数空间中具有多项式精度的最佳逼近规则. 1986 年，崔明根首次给出了一个再生核空间，证明了这个空间是具有再生核的Hilbert空间，同时给出了再生核的表达式[1- 2]，这开创了国内再生核领域的研究. 吴勃英[3- 4]等人将再生核应用于求解偏微分方程、热传导方程、中立型常延迟微分方程，建立了一个有再生核函数的Hilbert空间，提出一种易于计算的求再生核的卷积方法，避免了以往为了求再生核必须解高阶微分方程的困难，得到了再生核的许多良好的计算性质.

径向基函数是数学中最重要的基本概念之一，是多元函数的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具.大量的实际问题都可以归结为多元函数问题，并最终通过径向基函数插值法解决.在近代数学、工程技术、信息技术、图像处理、地球物理学，测绘学中也大量涉及到径向基相关理论的知识，是实现散乱的数据处理和分析的一种有效工具，在工程计算中具有重要的实际意义.本文给出一种再生核径向基函数，并且就二元问题进行了数值实验，取得了比较好的结果，并且与双三次样条函数及MQ函数进行了对比.

1 再生核径向基函数

1.1 径向基函数及其插值

任意一个满足Φ(x)=Φ(‖x‖)特性的函数Φ都叫做径向量函数.

常用的径向基函数有：

(1)Kriging方法的Gauss分布函数：φ(r)=e-c2r2；

(3)Duchon的薄板样条：φ(r)=r2klogr,φ(r)=r2k+1.

径向基函数插值法是逼近理论中的一个有利的工具，它最初是散乱数据插值的一种方法，具有计算格式简单、节点配置灵活、计算工作量小、精度相对较高等优点，越来越引起人们的关注，应用不断拓展.

R.Franke[5]在其评论文章中指出：就精度，稳定性，有效性，内存需要和易于实现而言，MQ在所有的散乱数据插值格式中首屈一指.

(1)

满足S(xj)=fj,j=1,2,…,m.

记fT=(f1,f2,…,fm)

φT(x)=(φ(‖x-x1‖),φ(‖x-x2‖),…,φ(‖x-x3‖))aT=(a1,a2,…am)

A=(φ(‖xj-xk‖)m×m

如果A非奇，那么式(1)可写成

(2)

1.2 再生核函数定义

定义 设H是Hilbert函数空间，其元素是某个抽象集合B上的实值或复值函数.

内积定义如下：

若对任何s∈B，存在一个K(t,s)作为t的函数是H中的元素，而且对任何s∈B及f∈H有：

称K(t,s)是Hilbert函数空间H的再生核，H是再生核空间.

记Hn(R)={u(x)|u(n-1)为R上的绝对连续实函数}，其中u,u′,…,u(n)∈L2(R),n为正整数.

定义内积

(3)

范数

(4)

可以证明Hn(R)为再生核空间，Kn(x-y)为其再生核，其中

1.3 再生核径向基函数

2 多元再生核插值

2.1 均匀格子点插值

下面研究一下再生核径向基函数Kn(x)的多元插值问题：选取Franke曲面作为研究对象,首先在格子点上进行实验，{x,y}∈[0,1]×[0,1].图1给出了Franke曲面以及用双三次样条插值所得的误差图；图2给出了均匀格子点h=0.05,h1=0.01时(h,h1分别为x,y方向步长),用再生核K1(x)张量积形式二元插值以及直接用再生核做二元径向基插值所得的误差图，图3给出了均匀格子点h=0.05,h1=0.01时,用再生核K3(x)张量积形式以及直接二元插值所得的误差图，图4给出了选取不同形状参数c对应的MQ径向基二元插值所得的误差图.

由图2、图3我们可以看出,K1(x)直接用再生核做二元径向基插值的绝对误差最大值为9×10-3，张量积形式误差为0.02；K3(x)直接用再生核做二元插值的绝对误差最大值为1.5×10-4，张量积形式误差为0.02；也就是说用再生核直接做二元插值，比用再生核函数张量积形式误差要小. 图1中，双三次样条绝对误差为8×10-4，经过对比，我们发现K1(x)误差没有双三次样条误差效果好，而K3(x)做二元径向基插值要比双三次样条插值效果好. 由图4我们注意到MQ径向基插值的误差跟形状参数的选取有很大关系，当形参c=0.1时，误差为8×10-4；当c=1时，误差为0.025；形参选择得好，则误差比较小,选择不好,效果就会很差,这直接导致使用上的不便.

(a)Franke曲面 (b)误差图

图1 Franke曲面及双三次样条插值重构的误差图

(a)K1张量积误差 (b)K1径向基插值误差

图2 再生核K1张量积和二元插值的误差图

(a)K3张量积误差 (b)K3径向基插值误差

图3 再生核K3张量积和二元插值的误差图

(a)c=0.1 (b)c=1

图4 不同形参下MQ误差图

2.2 散乱数据点插值

由于再生核函数Kn(x)是径向基函数，还可以针对散乱数据点进行插值，当我们的数据点是随机生成的散乱数据点时，此时双三次样条插值已不再适用，我们直接给出用再生核K3(x)进行散乱数据插值的误差图(图5).

(a)Franke曲面重构 (b)误差图

图5 散乱数据下再生核插值Franke曲面及误差图

综上，我们发现再生核函数Kn(x)直接做径向基插值要比双三次样条插值效果好，比著名的MQ径向基函数使用要方便.

3 结论

本文通过研究再生核函数Kn(x)的表达式，在重新定义其多元表达形式后，我们发现Kn(x)事实上是一个径向基函数，这极大地方便了再生核函数的多元插值计算.通过二元函数的数值实验，我们发现直接用再生核做二元插值要比用张量积形式的插值误差要小，实现起来很方便，而且还能够针对散乱数据点进行插值，比双三次样条效果要好，比MQ函数使用方便.目前，再生核函数张量积形式插值在流体力学方程的数值求解中有很多应用,比如Euler方程,Navier-Stokes方程,所以我们今后的重点可以放在这一类微分方程的数值求解上面.

[1]CUIMINGGEN,DENGZHONGXING.Onthebestoperatorofinterpolation[J].Math.NumericalSinica，1986,8(2):207- 218.

[2]崔明根,邓中兴,吴勃英.再生核空间中的数值泛函方法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社， 1988:34- 57.

[3]吴勃英，张钦礼. 计算再生核的卷积方法[J].数学进展，2003，32(5):635- 640.

[4]吴勃英.再生核和小波理论及应用若干问题研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2001.

[5]FRANKER.Scattereddatainterplation:testsofsomemethods[J].Math.Comp.，1982，38：181- 200.

Study of Multivariate Reproducing Kernel Radial Basis Function

ZHANG Jihong1,ZHENG Junsheng2

(1.School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China;2.Dept. of Computer Science and Technology,Dalian Neusoft University of Information,Dalian 116023,China)

By studying the multivariate reproducing kernel function interpolation,it is found that the reproducing kernel function itself is also a radial basis function.When the multivariate reproducing kernel function is interpolated,direct interpolate can be conducted rather than using its tensor product.This method is simple,easy to implement with high accuracy compared with direct tensor product interpolation by numerical experiments to gain more desired results than other multivariate function interpolation.

reproducing kernel;radial basis function;multivariate interpolation

1673- 9590(2015)01- 0109- 04

2014- 05- 12

辽宁省教育厅高等学校科学研究计划资助项目(L2012167)

张继红(1979-),女，讲师,博士,主要从事数值逼近方面的研究

E-mail:iamzjh@126.com.

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