一类三角矩阵的特征值反问题

李帅,李志斌

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)

一类三角矩阵的特征值反问题

李帅,李志斌

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)

对一类奇阶上三角矩阵的特征值反问题进行研究，通过两个给定特征对(λ,x),(μ,y)对矩阵的存在性及唯一性的条件进行讨论，在满足条件的前提下进行求解并给出表达式，通过数值例子验证算法的可行性.

三角矩阵；特征值；反问题

0 问题提出

矩阵的特征值反问题不仅在数值代数理论上是有意义的，而且在解决实际应用问题方面，也有举足轻重的地位[1- 4].

本文主要对如下形式的矩阵进行研究

其中,ai,bi,ci(i=1,2,…,n)∈R且ci=bi-1(i=1,2,…,n-2),c1=b0=0，n=2m-1.

问题A 给出两个非零互异实数λ,μ以及两个非零向量x=(x1,x2,…,xn)T，y=(y1,y2,…,yn)T，求n阶实矩阵J使Jx=λx,Jy=μy.

做如下约定：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1 问题A求解

1.1 当1≤i≤m-1时

由于(λ,x),(μ,y)为J的特征对，从而有

(8)

(9)

由式(8)和(9)消去ai，得

(10)

又因为

ci=bi-1,(i=1,2,…,n-2),结合式(2)、(3)、(10)可得

(11)

当i=1时，由b0=0得

(12)

当i=2时

(13)

(14)

对于式(14)，若Di≠0(i=1,2,…,n-1),则xi,yi(i=1,2,…,m-1)不能同时为零，则ai,bi,ci(i=1,2,…,m-1)有唯一值.由式(14)解得

(15)

(16)

(17)

1.2 当m≤i≤n-2时

(18)

(19)

由式(18)和(19)消去ai，得

(20)

又因为ci=bi-1(i=1,2,…,n-2)，结合式(2)，(4)和(20)可变为

(21)

当i=m时，得

(22)

当i=m+1时，得

(23)

(24)

(25)

类似情况2.1，当Di≠0(i=1,2,…,n-1)时，ai,bi,ci(i=m,m+1,…,n-2)有唯一值，由式(25)解得

(26)

(27)

(28)

1.3 当i=n-1时

(29)

(30)

若Dn-1≠0,则an-1,bn-1有唯一值，由式(29)和(30)解得

(31)

(32)

1.4 当i=n时

①若xn≠0,yn=0,anxn=λxn则an=λ;

②若yn≠0,xn=0,anyn=μyn则an=μ;

③若xn≠0,yn≠0,anxn=λxn,从而an=λ;anyn=μyn,从而an=μ,就有λ=μ,这与λ与μ互异矛盾，从而须有xnyn=0;

④若xn=yn=0，则an解不唯一，为确保解的唯一性，需要求xn,yn不同时为零.

综上，当xnyn=0且xn,yn不同时为零时，an有唯一解，解得：

(33)

综上所述，对问题A，给出如下定理：

定理 如果以下条件满足：

(Ⅰ)Di≠0,(i=1,2,…,n-1);

(Ⅱ)xnyn=0且xn,yn不同时为零.

则问题A有解，且

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

2 数值例子

c1=b0=0,c2=b1=2,c3=b2=1;

[1]李志斌，赵鑫鑫，李伟.广义Jacobi矩阵特征值反问题[J].大连交通大学学报， 2008,29(4):6- 10.

[2]戴华，姚承勇.Jacobi矩阵逆特征问题解存在的条件[J].高等学校计算数学学报，2003,25(1):40- 49.

[3]哈里曼.关于矩阵特征值正反问题的应用背景[J].新疆大学学报(自然科学版)， 1997(4):26- 35.

[4]WEIWEIGU，ZHIBINLI．GeneralizedInverseEigenvalueProblemforGeneralizedSnow-LikeMatrices[C]．2012InternationalConferenceonComputationalandInformationSciences(ICCIS2012),Chongqing,2012:662- 664.

Inverse Eigenvalue Problem for a Class of Triangular Matrices

LI Shuai,LI Zhibin

(School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

The eigenvalue of the a class of upper triangular matrix of odd order is studied,and the feature of existence and uniqueness of matrix via two given two characteristic pairs (λ,x),(μ,y)isdiscussed.Furthermore,thesolutionisbuilt,andexpressionisprovidedundersatisfiedconditions.Thefeasibityofthecalculationisexanimatedbyanumericalexample

triangular matrix；eigenvalue；inverse problem

1673- 9590(2015)01- 0112- 03

2014- 03- 10

国家自然科学基金资助项目(61273022)

李帅(1988-),男，硕士研究生；李志斌(1960-),教授，硕士，主要从事矩阵特征值反问题的研究

E-mail:lishuai1988214ky@163.com.

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