应用主动控制实现Rössler系统与Sprott-O系统的反同步

陈毅文

应用主动控制实现Rössler系统与Sprott-O系统的反同步

陈毅文

（福建广播电视大学漳州分校，福建漳州，363000）

应用主动控制方法研究不同混沌系统之间的反同步，并用这个方法实现了Rossle系统和Sprott-O系统之间的混沌反同步，最后通过数值仿真进一步验证这种控制方法的有效性。

反同步；混沌系统；主动控制

一、引言

混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需要附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为（内在随机性）。其本质是系统的长期行为对初始条件的极端敏感性。混沌的发现，可以追溯到十九世纪末庞加莱在研究三体问题时遇到的混沌问题。从实际问题的研究中，已发现很多混沌系统，如著名的Lorenz系统、Chua电路、Rössler系统、Chen系统等。[1，2]

混沌同步是指两个混沌系统通过相互耦合或外力驱动，在某些随时间变化的特性上实现关联或者出现相同的行为。由于混沌系统的初值敏感性，混沌同步很长时间以来被认为是不可能实现的，直到1990年美国海军研究实验室的Pecora和Carroll首次从理论和实验证实混沌系统的同步是可实现的。[3]之后，混沌同步的研究得到广泛的关注，已成为非线性科学研究的热点之一，其应用范围也已遍及自然科学的各个领域，如物理学、电子学、化学、生物学、信息安全学和经济学等学科领域。

混沌同步的控制方法常用的有：线性反馈控制、替代变量控制、滑膜控制、非线性反馈控制、自适应控制和主动控制等。其中，主动控制方法由于其简单实用得到很多学者的关注，如Vincent应用主动控制研究Loren-Stenflo系统与四维Qi系统达到同步，以及Loren-Stenflo系统和Qi系统之间的同步。[4]Idowu等人也应用主动控制方法实现参数激励的两个不同混沌系统的同步。[5]

混沌同步的方式根据其状态变量的关联方式主要包括完全同步、反同步、投影同步、相位同步、滞后同步等。反同步是指达到同步的两个混沌系统的状态变量的绝对值相同但符号相反。由于混沌系统的反同步和减震等工程问题密切相关，同样引起很多学者的兴趣，如Song和Cao推导出混沌系统完全同步和反同步的一些充分条件，改进了已有的结果，[6]Hu等人应用自适应控制实现Chua混沌系统的反同步。[7]

不同系统之间的混沌反同步有其研究的价值。在本文中，我们应用主动控制设计合适的控制函数，实现不同结构的Rössler系统和Sprott-O系统之间的混沌反同步，并用数值仿真验证该控制方法的有效性。

二、使用主动控制实现系统反同步

考虑用Rössler系统[2]作为驱动系统，Sprott-O系统[8]作为响应系统，则驱动-响应系统反同步框架可以构造为

驱动系统

响应系统

其中u1，u2，u3是控制函数。定义误差变量为

由系统（2）和系统（1）可以得到误差系统为

控制函数u1，u2，u3可设为

因此，误差系统可以简化为

控制输入函数v1、v2和v3是e1、e2和e3的函数，取

如果取

那么误差系统（5）的特征值为-1、-1、-1，于是当t→∞时，状态误差e1、e2、e3，均收敛于0。因此，实现了Rössler系统和Sprott-O系统之间的反同步。

三、数值仿真

（一）数值仿真1

取Rössler系统的参数为：a=0.389，b=2，c=4时系统是混沌状态，Sprott-0系统是典型的三阶自治系统。驱动系统和响应系统的初值分别任取

相应的，误差系统（3）的初始状态为：

数值仿真结果如图1所示。

图1（a）显示信号x1和x2之间的反同步，图1（b）显示信号y1和y2之间的反同步，图1（c）显示信号z1和z2之间的反同步。为了显示系统的反同步误差，我们定义误差随时间演变的过程如图1（d）所示。从仿真模拟中我们可以看出，在t=5的时候驱动系统开始沿着一个相反的方向实现与主动系统的反同步，在t=9时Rössler系统和Sprott-O系统之间就实现了反同步。

（二）数值仿真2

取Rössler系统的参数为：a=0.389，b=2，c=4时系统是混沌状态，Sprott-O系统是典型的三阶自治系统。驱动系统和响应系统的初值分别任取x1（0）=1.5，y1（0）=2.5，z1（0）=3.5，和x2（0）=-11.5，y2（0）=9.5，z2（0）=-12.5，相应的，误差系统（3）的初始状态为：e1（0）=-10，e2（0）= 12，e3（0）=-9。数值仿真结果如图2所示。图2（a）显示信号x1和x2之间的反同步，图2（b）显示信号y1和y2之间的反同步，图2（c）显示信号z1和z2之间的反同步。误差‖e(t)‖随时间演变的过程如图2（d）所示。从仿真模拟中我们可以看出t=5在的时候驱动系统开始沿着一个相反的方向实现与主动系统的反同步，在t=9时Rössler系统和Sprott-O系统之间就实现了反同步。

四、结论

本文研究了不同混沌系统Rössler系统和Sprott-O系统之间的反同步问题。应用主动控制方法，我们实现了这两个不同混沌系统之间的反同步。Rössler系统和Sprott-O系统之间的数值仿真验证了这个控制方法是有效的。

[1]黄润生，黄浩.混沌及其应用（第二版）[M].武汉：武汉大学出版社，2005.

[2]王兴元.混沌系统的同步及在保密通信中的应用[M].北京：科学出版社，2012.

[3]L M Pecora，T L Carroll.Synchronization in chaotic systems[J].Physical Review Letters，1990，（64）:821-824.

[4]U E Vincent.Synchronization of identical and non-identical 4-D chaotic systems using active control[J].Chaos Solitons&Fractals，2008，（4）:1065-1075.

[5]B.A.Idowu，UE Vincent，AN Njah.Synchronization of chaos in non-identical parametrically excited systems[J]. Chaos Solitons&Fractals，2009，（5）:2322-2331.

[6]Q Song，J Cao.Synchronization and anti-synchronization for chaotic systems[J].Chaos Solitons&Fractals，2007，（3）: 929-939.

[7]JHu，S Chen，L Chen.Adaptive control for anti-synchronization of Chua's chaotic system[J].Physics Letters A，2005，（6）:455-460.

[8]Qiang Jia.Chaos control and synchronization of the Newton-Leipnik chaotic system[J].Chaos Solitons&Fractals，2008，（35）:814-824.

[责任编辑：陈晓蔚]

O415

A

1008-7346（2016）01-0085-04

2016-01-13

陈毅文，男，福建漳州人，福建广播电视大学漳州分校办公室主任，副教授。