“凑微分法”的教学研议

柳月凤　吴全荣

“凑微分法”的教学研议

柳月凤吴全荣

（漳州城市职业学院，福建漳州，363000）

凑微分法是积分法中常见的重要的方法，同时又是学生学习积分的一个难点。针对高职高专学生的数学基础及困惑，通过讲清算理，办强学法指导；注重渗透“分析”“综合”的思想方法；做好铺垫、衔接、总结工作的方法，提高凑微分法的教学成效。

凑微分法；高职高专；教学策略

仅仅利用积分的基本性质和基本积分公式，只可解决一些较为简单函数的积分问题。大多数函数的积分要通过适当的积分变换，如换元法和分部积分法来加以解决，其中第一类换元积分法即凑微分法是积分法中常见的重要方法，同时又是学生学习积分的一个难点。为解决这一难点，目前关于凑微分法的讨论，有的侧重凑微分法理论依据的剖析，有的侧重凑微分式的总结。本文主要从学生学习凑微分法过程中存在的困惑入手，侧重从数学思想方法的角度提出解决问题的策略，以帮助数学基础薄弱的高职高专学生渡过这一难关，更好地掌握凑微分法。

一、凑微分法的步骤

命题（第一类换元积分法）：

设∫f(u)du=F(u)+C，且u=φ(x)可微，则

可见，一阶微分形式的不变性和复合函数的求导法则是第一类换元积分法的根本和基础。

在应用第一类换元积分法时，如果被积函数表达式已经直观地呈现为f[φ(x)]φ'(x)dx的形式，那就没有所谓的难点之说。但多数积分并非如此。如积分

此积分不在基本积分表里，如果把被积函数按多项式展开进行积分，非常麻烦。如果用第一类换元积分法来求解，那就简单多了。但它的被积函数表达式(2x+1)5dx并没有直观地告诉我们函数φ(x)是什么，这需要我们引导学生去观察、去发现，这就是它的难点所在。所以，我们可以把需要用第一类换元积分法解答的题目的解题步骤表达为：

从上述步骤我们可以看出，第一步的观察很重要，这里要进行函数的变换，由对应法则g变换成对应法则f。因此，必须根据被积函数g(x)的特点，将g(x)dx凑成f[φ(x)]φ'(x)dx，这是关键所在，即将g(x)dx表示成g(x)dx=f[φ(x)]dφ(x)，从而将积分∫g(x)dx转化成∫f(u)du。如果它是基本积分公式中已有的形式或其线性组合，则也就可以求出积分∫g(x)dx，所以第一类换元积分法又贴切地称为凑微分法。

二、学生存在的困惑

根据多年的教学经验，结合学生的学习反馈情况，我们发现学生在学习凑微分法时主要存在以下困惑：

第一，为什么要“凑”，也即如何判断此积分应该用凑微分法来求解？

第二，如何寻求中间变量u=φ(x)？

第三，中间变量u=φ(x)找到后，如何凑？dx与dφ(x)之间的关系如何？

如以下是学生作业的错误解法：

那么，我们如何帮助学生降低凑微分法的思维难度，解决以上困惑？笔者结合自身教学经验，认为可以从以下几个方面对学生加以引导。

三、解决策略

（一）讲清算理，加强学法指导

由命题可知，凑微分法主要用于被积函数是复合函数（或含一个因式为“复合函数”），事实上，在g(x)=f[φ(x)]φ'(x)中，f[φ(x)]是以φ(x)为内函数的复合函数。所以，在需要用到凑微分的题型中，被积函数g(x)本身往往要么是复合函数，要么因式中部分是复合函数。为了解决学生的第一个困惑，我们可以用∫cos3xdx导入新课，其中g(x)=cos3x本身就是复合函数。

又如（1）中，被积函数g(x)=（2x+1）5本身也是复合函数；积分中，被积函数是由因式1x与（1+1n3x）的乘积构成，后者（1+1n3x）就是以1nx为内函数的复合函数。

在此基础上，注意观察g(x)分离出f[φ(x)]外，还要将剩余部分因式与dx凑成中间变量φ(x)的微分式φ'(x)dx，即dφ(x)。如果可以，则凑微分告成。如（1）中，由于被积函数g(x)=(2x+1)5本身是复合函数，(2x+1)是内函数，而(2x+1)'dx=2dx，所以dx=(2x+1)'dx=d(2x+1)，因此∫(2x+1)5dx=∫(2x+1)5(2x+1)'dx=∫(2x+1)5d(2x+1)。

而对于（2），因式（1+1n3x）是以1nx为内函数的复合函数，剩余部分因式与dx的乘积dx=(1nx)'dx=d1nx，所以

当然，在凑微分法中，被积函数g(x)并不仅仅局限于以上两大基本类型，如等。只是针对高职高专的学生而言，以上那两大基本类型是必须也是应该在练习的基础上熟练掌握的。

（二）注重渗透“分析”“综合”的思想方法

为解决学生的第二个和第三个困惑，在凑微分法教学过程中，还要不断渗透“分析”“综合”的思想方法。如何找出中间变量φ(x)，中间变量φ(x)确定后怎么办？这可以通过例题引导学生分析、归纳出“比对公式抓大头，凑好微分保平衡”。“比对公式抓大头”是指先通过分析，把被积函数或其部分与基本积分公式中的被积函数进行比对，将复杂的被积函数往基本积分公式中的简单被积函数靠拢，以便于寻找换元的目标函数u=φ(x)；“凑好微分保平衡”是指φ(x)确定后，进一步寻找dx与dφ(x)之间的关系，从而用综合法凑成基本积分公式。下面用两个例子说明。

例1：求∫e-2xdx

分析：我们通过与基本积分公式比对，考虑往∫eudx转化，此时换元的目标函数u=-2x，得du=d(-2x)=(-2x)'dx=-2dx，即dx=-du=-d(-2x)，从而求出不定积分。得解：

教学中，我们还应引导学生紧扣“比对公式抓大头，凑好微分保平衡”，防错、纠错。

（三）做好铺垫、衔接、总结工作

由于凑微分法既要分析，又要综合，凑微分法中的“凑”所涉及的思维是逆向思维，这就要求学生熟练掌握导数公式、微分公式、积分公式等基本公式。我们可以尝试从以下几个方面来分散解决这一难点。

1.讲解微分时做好前期的铺垫工作

在学习微分时，我们要有意识地为后面的知识点——凑微分做好铺垫，多出一些诸如dx= ()d(3x)、dx=()d(3-2x)、cos xdx=()d sin x、cosdx=()d sin、xdx=()d(3x2+1)、dx=d()、dx=d()dx=d()=()d()此类的填空题让学生练习，既起到巩固微分概念的作用，又为后面提炼常用的凑微分式埋下伏笔。

2.讲解凑微分时做好新旧知识的衔接工作

在学习新知凑微分时，我们要引导学生反复回顾导数、微分、积分的基本公式，做好新旧知识的衔接。

如上面例2，有些学生能感知应该用1+x2来凑微分，但对xdx与d(1+x2)之间的关系又有点模糊，这时我们应及时引导学生回顾前面的导数及微分基本公式：(1+x2)'=2x、d(1+x2)=(1+x2)' dx=2xdx，理清二者之间的关系，从而得出：xdx=d(1+x2)，以使学生能够顺畅地解答。

3.归纳基本题型，总结常见的凑微分式

为使学生更好掌握凑微分法，我们可以引导学生通过不完全归纳法归纳出以下常见的凑微分式：（设∫f(u)du=F(u)+C）

如通过以下填空：dx=()d(3x)、dx=() d(3-2x)、dx=()d(x+7)及相应的积分求解：∫e3xdx、∫(3-2x)10dx、∫sin(x+7)dx，试探着让学生总结出常见的凑微分式（1），以期在求解类似题目如∫时能快速求解：

当我们比较熟练掌握凑微分法时，可利用整体变换的思想，把中间变量看作一个整体，这样设中间变量的过程可以省略，使整个解题过程显得更加简练。如上例：

四、总结

以上几种策略并不是互相割裂的，它们都紧紧围绕凑微分法解题的关键：如何找出目标函数u=φ(x)，凑出dφ(x)，只是我们针对不同基础的学生、从不同的侧面提出问题的解决策略。

“要创新，需学问，只学答，非学问，问愈透，创更新”，这是诺贝尔物理学奖获得者、中国科学院外籍院士、美籍华裔物理学家李政道先生给学生们的建议。在这里，我们借用这一句话，期待我们的学生能够做到不耻下问，在一定练习的基础上找到适合自己的学习方法，并加以研究、归纳、总结，循序渐进地掌握它的变换技巧。

同时，也期望我们老师在进行不定积分凑微分法教学时，能够适当放慢教学速度，尽量让学生达到融会贯通，以便熟练掌握凑微分法。这样到了学习不定积分分部积分法、定积分换元法及分部积分法时，学生就能做到轻车熟路，快速解决问题。

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[责任编辑：陈晓蔚]

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1008-7346（2016）01-0089-04

2015-11-02

柳月凤，女，福建云霄人，漳州城市职业学院教师教育系讲师；

吴全荣，男，福建云霄人，漳州城市职业学院教师教育系副教授。