n级混合微分系统第二特征值的上界不等式

卢亦平，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

1 主要结果

设(a, b)⊂R是一个有界区间，考虑如下n级混合微分系统

设任意的ξ=[ξ1ξ2… ξn]T，满足

式中μ1，μ2，v1，v2为正实数。

把问题(1)写成矩阵形式，设

将问题(1)化为如下等价的矩阵形式

微分方程的特征值估计已有结果[1-5]。相同阶微分系统特征值估计也有结果[6]。在本文中，考虑n级混合微分系统的问题，这个问题将文献[7]的2级混合微分系统推广到n级混合微分系统的情形。运用文献[8]中的方法，对于问题(1)获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关。其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用[9]。

定理1 设λ1，λ2是问题(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，σ=1，2，…，h，则有

注1 取n=2，s1=s，s2=t，p12(x)=p21(x)=0，得到文献[7]中的式(5)，所以文献[7]是本文的特例。

2 定理1的证明

设λ1是问题(4)的第一特征值，相应于λ1的特征向量函数为u1，简记u=u1，且满足

利用分部积分和式(6)，得

利用分部积分和式(7)，有

利用式(2)和式(8)，得

利用式(9)，有

利用式(3)和式(7)，得

利用式(11)，有

利用式(12)，得

设 ϕ (x) = (x −g)u ，其中

利用分部积分，直接计算得

利用式(15)知，φ与u广义正交，且满足φ(k)(a)=φ(k)(b)=0，k=0，1，…，sn-1。

利用Rayleigh定理，则有

计算得

利用分部积分和 ϕ (x) = (x −g)u ，有

从而有

结合式(17)和式(18)，得

利用式(19)，有

利用式(16)和式(20)，则有

引理1 设y是问题(4)所对应第一特征值λ1的特征向量函数u的某一分量，σ=1，2，…，n，i=1，2，…，n，则

引理2 设λ1是问题(4)的第一特征值，则

引理3 对于φ与λ1，有不等式成立

证明 利用分部积分和 ϕ (x) = (x −g)u ，得

利用式(22)，有

利用式(23)，得

利用式(3)和式(11)，得

利用式(24)、式(25)、式(3)、式(11)、引理1(b)和Schwarz 不等式，得

整理上式，可得引理3.

定理1的证明 利用引理2、引理3和式(21)，得到定理1的式(5).

3 结论

本文利用试验函数、分部积分和不等式等估计方法与技巧，考虑n级混合微分系统第二特征值的上界估计，获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关。其结果在常微分方程的研究和应用中起着重要的作用。