一类线性矩阵方程的三对角极小范数最小二乘解

顾友付， 曾晓辉

(江西应用工程职业学院 基础部， 江西 萍乡 337042)

对于线性矩阵方程的各类约束极小范数最小二乘解的讨论，一直是数值代数的一个比较重要的研究领域.有很多专家和学者针对一些特殊的线性矩阵方程，给出了某些约束极小范数最小二乘解，如文献[1]、[2]利用矩阵的奇异值分解及矩阵广义逆分别对矩阵方程AX=B,XC=D，AXB=D和(AX,XC)=(B,D)进行了研究，得到其对称正定解、对称解的充要条件，并在有解的条件下，给出了通解的显示表达式；文献[3]利用了QSVD研究了矩阵方程(ATXA,BTXB)=(C,D)的反对称解；文献[4]利用了GSVD研究了矩阵方程AXB=C的中心对称解及其最佳逼近;文献[5]同时利用SVD和GSVD，研究了矩阵方程ATXB+BTXTA=D的极小范数最小二乘解；文献[6]同时利用SVD和GSVD，研究了矩阵方程AXAT+BYBT=C的对称和反对称极小范数最小二乘解；文献[7]同时利用CCD和GSVD研究了矩阵方程AXB+CYD=E的极小范数最小二乘解；文献[8]利用矩阵的Kronecker积和Moore-Penrose广义逆，研究了矩阵方程AXB+CYD=E的极小范数最小二乘对称解.

然而，文献[3]、[4]、[6]、[8]考虑的是某些线性方程的特型极小范数最小二乘解，本文将根据三对角矩阵明显的几何特征，利用矩阵的Kronecker积和Moore-Penrose广义逆，巧妙地将线性矩阵方程

(1)

的三对角极小范数最小二乘解转化为无约束的矩阵方程Ax=b的极小范数最小二乘解问题，从而比较轻松地解决如下两个问题：

问题1对于给定的Ai∈Rm×si,Bi∈Rsi×n,C∈Rm×n，求Xi∈TDRsi×si(i=1,2,…,t)使得

(2)

(3)

问题1是研究线性矩阵方程(1)的三对角最小二乘解，问题2是研究线性矩阵方程(1)的三对角极小范数最小二乘解,本文所用的符号与文献[8]相同.

1 问题1的求解

为了研究问题1的解，给出如下定义和引理.

定义1设矩阵A∈Rn×n，若其元素aij满足aij=0,|i-j|>1,i,j=1,2,…,n，则称矩阵A为三对角矩阵，所有的n阶三对角矩阵构成的集合记为TDRn×n.

定义2设矩阵A=(aij)n×n∈Rn×n，记a1=(a11,a21),a2=(a12,a22,a32),…,an-1=(an-2,n-1,an-1,n-1,an,n-1),an=(an-1,n,an,n),令vecS(A)=(a1,a2,…,an)T∈R3n-2.

引理1对于X∈Rn×n，则X∈TDRn×n⟺vec(X)=KnvecS(X)，其中

显然，Kn∈Rn2×(3n-2).

证明先证明充分条件.

如果X∈TDRn×n，则由定义1可得

=x11(e1,0,0,…,0)+x21(e2,0,0,…,0)+x12(0,e1,0,…,0)+x22(0,e2,0,…,0)+

x32(0,e3,0,…,0)+…+xn-1,n(0,0,0,…,en-1)+…+xn,n(0,0,0,…,en).

将等式两边拉直有

参照充分条件的证明，易证必要条件.

引理2设矩阵A∈Rm×n，b∈Rm，则线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是

AA+b=b,

(4)

这时方程组Ax=b的通解为

x=A+b+(I-A+A)y,

(5)

其中y∈Rn是任意的[9].

引理3设矩阵A∈Rm×n，b∈Rm，则不相容线性方程组Ax=b的最小二乘解为x=A+b+(I-A+A)y，其中y∈Rn是任意的[9].

用如下的定理可求出问题1的解.

HL={X|vec(X)=WP+vec(C)+W(I-P+P)y},

(6)

其中y∈Rn2是任意的.

证明由引理1知

vecS(X)=P+vec(C)+(I-P+P)y,

(7)

时，将式(7)的两边同时左乘一个W，得到

vec(X)=WP+vec(C)+W(I-P+P)y,

(8)

其中y∈Rn2是任意的.

推论1条件和符号与定理1相同，则矩阵方程(1)有三对角解的充分必要条件为PP+vec(C)=vec(C).在有三对角解的条件下，记它的解集合为HE，则HE={X|vec(X)=WP+vec(C)+W(I-P+P)y}，其中y∈Rn2是任意的.

2 问题2的求解

对于问题2，给出如下定理.

定理2记号与定理1相同，则线性矩阵方程(1)的三对角极小范数最小二乘解为

(9)

W(I-P+P)y=2)(其中y∈Rn2是任意的).

y=(W(I-P+P))+(-WP+vec(C))+(I-(W(I-P+P))+)W(I-P+P)z，

(10)

其中z∈Rn2是任意的.

将式(10)代入式(8)得到线性矩阵方程(1)的极小范数最小二乘三对角解为

(11)

推论3若线性矩阵方程(1)有三对角解，则一定存在一个极小范数三对角解，且可表示为

3 数值算法和算例

线性矩阵方程(1)的极小范数(最小二乘)三对角解的算法为

1) 输入Ai,Bi,C,s，其中s=(s1,s2,…,st);

3) 计算P+与(W(I-P+P))+;

例1设矩阵

例2设矩阵

例1与例2说明算法是有效的.

参考文献：

[1] 袁永新. 关于矩阵方程AX=B,XC=D及AXB=D的对称正定解[J]. 华东船舶工业学院学报，2000,14(6)：9-12.

[2] 袁永新. 关于矩阵方程(AX,XC)=(B,D)的对称解[J]. 华东船舶工业学院学报，2001,15(4):82-85.

[3] 邓远北，胡锡炎. 线性矩阵方程(ATXA,BTXB)=(C,D)的对称解[J]. 工程数学学报，2003,20(6)：65-68.

[4] 彭振贇. 线性矩阵方程AXB=C的中心对称解及其最佳逼近[J]. 工程数学学报，2003,20(6)：60-64.

[5] 袁永新，戴华. 矩阵方程ATXB+BTXTA=D的极小范数最小二乘解[J]. 高校计算数学学报，2005,27(3)：232-238.

[6] 廖安平，白中治. 矩阵方程AXAT+BYBT=C的对称与反对称最小范数最小二乘解[J]. 计算数学，2005,27(1)：81-95.

[7] LIAO A P,BAI Z Z, LEI Y. Best approximate solution of matrix equationAXB+CYD=E[J].Siam J.Matrix Anal. Appl.,2006,27(3):675-688.

[8] 袁仕芳，廖安平，雷渊. 矩阵方程AXB+CYD=E的对称极小范数最小二乘解[J]. 计算数学，2007,29(2)：203-216.

[9] 戴华. 矩阵论[M]. 北京：科学出版社，2001.