关于有限个超越整函数迭代的若干性质

俞蕴妮， 洪 霞

(1.南昌师范高等专科学校 自然科学系， 江西 南昌 330029； 2.江西电力职业技术学院 信息系, 江西 南昌 330032)

Hinkkanen和Martin[1-2]研究了由一族有理函数{h1,h2,…,hn,…}生成的一个半群H的动力系统，其中半群算子是函数的复合.与古典Fatou-Julia理论相似地定义了半群H的Fatou集和Julia集，并得到与古典理论极为相似的一些动力性质.后来，关于这方面有着很多的研究，如Sumi[3],Poo[4],Huang[5].

设H是一个由一族超越整函数{h1,h2,…,hn,…}生成的一个半群，其中半群算子是函数的复合.定义H的Fatou集为F(H)={z∈C|H在z的某个邻域上正规}以及H的Julia集为J(H)=CF(H).同时，对于z∈C，定义O-(z)={ω∈C存在一个g∈H满足g(ω)=z}以及H的例外点集E(H)={z∈C︱O-(z)是有限的}.

Hiroki Sumi在文献[3]中讨论了当G是有理半群的情形，得到了跟古典Fatou-Julia理论中相似的关于有理半群的斜积的Fatou集和Julia集的一些基本性质，但是并没有给出一个完整的证明.称一个集合M在某个映射ɡ下是完全不变的，指的是z∈M当且仅当ɡ(z)∈M.

TheoremAG=〈f1,f2,…,fm〉是一个有限生成有理半群，则

仿照Sumi的证明，不加证明给出下列结果.

定理11)G是一个由一族有限个超越整函数{f1,f2,…,fm}生成的半群.令Gn={ɡ∈G︱ɡ =…fω n∘ …∘fω 1}, 其中n∈N，ωj∈{1,2,…,m}，j=1,2,…,n,…,则有J(Gn) = (fω n∘ …∘fω 1)-1(J(G))；

下面，给出本文的主要结果.

定理2令S={(ω,x)∈C|存在x的一个开邻域U和ω的一个开邻域V，使得对于每个α∈V，函数族{fα n∘ …∘fα 1} 在U内正规，n∈N}，则有

证明1)若x∈F(G)，则存在x的一个邻域V，G在V内正规.任取一个ω∈Σm，都可以找到一个(ω，x)的一个邻域(Σm，V)，使得对于任意的v∈Σm,函数族(fvn∘ …∘fv1)在V内正规，即(ω,x)∈S，则存在S中的一元(ω,x)，使得π2(ω,x)=x，从而x∈π2(s).

假定x∈(fω n∘ …∘fω 1)-1(F(G))，其中n∈N，ωj∈{1,2,…,m}，j=1,2,…,n.因为F(G)是开集，所以可以取x的一个足够小的邻域V，使得fω n∘ …∘fω 1(V)⊂F(G).那么，取ω的一个邻域为Un={α∈Σm|

αj=ωj,j=1,2,…,n}以及x的一个邻域为V.则(Un,V)为(ω,x)的一个邻域，且对于任意的α∈Un，函数族{…fα n∘ …∘fα 1} 在V内正规.这是因为函数族{ …fα n∘ …∘fα 1} 在V内正规等价于函数族{ …∘fα n + 2∘fα n + 1} 在fω n∘ …∘fω 1(V)内正规,由fω n∘ …∘fω 1(V)⊂F(G)可知这是显然的.所以有(ω,x)∈S且π2(ω,x)=x，从而x∈π2(s).

从而有

(1)

参考文献：

[1] HINKKANEN A，MARTIN G J.The dynamics of semigroups of rational function I[J].Proc.London Math.Soc.,1996,73(3):358-384.

[2] HINKKANEN A，MARTIN G J.Julia sets of rational semigroup[J].Math.Z.,1996，222:161-169.

[3] SUMI H.Skew product maps related to finitely generated rational semigroups[J].Nonlinearity, 2000,13:995-1019.

[4] POON K K. Fatou-Julia theory of transcendental semigroups[J].Bull.Austral.Math.Soc.，1998 ，58:403-410.

[5] 黄志刚.He dynamics of semigroups of transcendental meromorphic functions[J].Tsinghua Science and Technology，2004,9(4):472-474.