线调频小波WVD用于非平稳信号分析研究

王 豪,董广明,陈 进,赵发刚

(1.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室,上海 200240；2.上海卫星工程研究所,上海 200240)

0 引言

在信号处理中，基于TFR(time-frequency representation)的方法广泛应用于机械故障诊断[1]、电子系统、岩土、生物医学工程[2]等领域。旨在从原始信号中提取有意义的物理参数或者模式，而想要得到精确的参数或模式，必须得到准确的瞬时频率IFs(instantaneous frequencies)[3]。

为了得到精确的IFs，TFR的能量集中性能非常关键。由TFR的发展历程来看，一些方法极大地提升了研究者的兴趣，如STFT(short time fourier transform)和WT(wavelet transform)得到了广泛应用。然而STFT受到Heisenberg不确定原则的限制，无法在时间和频率上同时得到高分辨率，因此两者之间的平衡是不可避免的问题。另外，STFT的固定窗宽使得其在很多情况下不能满足在高频段需要高时间分辨率、在低频段需要高频率分辨率的要求。小波变换的发展弥补了这一缺点，但是小波变换是由STFT发展而来，因此它也无法实现对时变IFs的高精度估计。核为1的WVD(wigner-ville distribution)是非常流行的方法，它是一种双线性变换，可以从无噪声信号得到能量集中的时频表征。但是当分析信号中含有非线性频率或者间歇性信号分量时，会产生交叉项，引起误解。

CT(chirplet transform)是快速傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换的一般化。作为一个最灵活的时频窗，它成功地应用在实际中，如郭盛等[4]利用CT进行谐波检测，Fabie[5]将其应用在FMCW雷达信号等。上述TFR方法都不能很好地得到非线性非平稳信号的时频精确表示。通常线性调频信号或非线性调频信号采用参数化时频变换进行分析,而对于LFMs和MLFM混合信号，之前的分析方法缺乏效率和准确性。为了解决这个问题，本文利用WVD在时间和频率上的无限分辨率的优势，提出一种参数化时频变换，即多项式或样条WVD来抑制交叉项。

1 算法

1.1 CWVD的基本原理

CT有许多优良特性，但是它只适用于线调频信号。将CT与WVD组合时，可以抑制两种方法的缺点，突出各自的优点。抑制交叉项的最佳方法是将非线性、非平稳的解析信号转换为一些单频线性信号。本文利用一些频率旋转和频移算子来实现转换过程，其原理如图1所示。图1(a)中的原始信号混合了非线性调频信号Real IF1和间断调频信号Real IF2。图1(b)中的虚线是由频率旋转算子对IF1信号处理后的结果，之后将IF1转换为单频信号。为了分离这些信号，使用了带通滤波器。由于Rotated IF1的频率固定，因此带通滤波器的带宽设为Rotated IF1的瞬时频率与Rotated IF2的最大瞬时频率之差，中心频率为Rotated IF1的瞬时频率，结果如图1(c)所示。图1(d)是频移算子对IF1的重构信号，同样的方法可以对IF2进行准确的估计。以上处理过程，可以综合为

(t,τ,α)e-jωυdυ

(1)

1.2 多项式CWVD

频率旋转算子和频移算子的参数依赖于对信号瞬时频率的估计。当多项式阶次不是很高时，多项式可以很好地对连续函数进行平滑、有效逼近。因此，利用一些低阶多项式可以近似IFs。一个信号分量的多项式可以表示为

(2)

式中：fi(t)为第i个信号分量的瞬时频率估计；t0和t1表示多项式的时间范围。显然，当多项式核参数(α0,α1,…,αN)估计正确时，多项式函数可以精确逼近瞬时频率的轨迹。为了将原信号转换为一些单频连续频率信号并恢复到原信号，可将频率旋转算子和频移算子改成为：

(3)

(4)

其中参数λ是附加的频移，用来匹配带通滤波器的通频带频率。由于带通滤波器的通带是固定的，为了减少计算量，常数λ需要和常数带通滤波器相匹配。

1.3 样条CWVD

一些低阶多项式可以近似IFs，随着多项式的阶次增加，Gram(格拉姆)矩阵将无法满足最小二次逼近，多项式CWVD会出现阴影，更重要的是，高阶多项式会增大计算量。为了解决这个问题，可以运用样条核-调频转换，因为样条可以在更大的时间间隔上有效地近似高动态轨迹。相对于多项式CWVD而言，样条CWVD在频率旋转算子和频移算子上有一些改变，具体如下所示：

(5)

(6)

2 参数估计方法

近似瞬时频率的多项式或者样条核函数的参数估计非常关键，直接决定了新方法的性能效率。本文提出的方法是当多项式函数阶次小于15且逼近过程可分为瞬时频率估计和多项式逼近两步时，利用最小二乘法对原信号的瞬时频率进行拟合。

瞬时频率估计算法是利用多项式函数逼近原信号的瞬时频率轨迹，也就是用一些多项式函数来逼近忽略峰值振幅的瞬时频率轨迹。因此，瞬时频率估计的第一项工作就是检测峰值。本文中，由于STFT算法简单，在进行峰值检测算法前利用STFT来粗略得到瞬时频率。通过在每一个时间段的光滑一阶导数搜索向下的过零点来实现峰值检测[6]。为了防止干扰信号或噪声信号产生假峰，使用幅值阈值来区分真假信号：

Ath=0.1×Amax

(7)

式中：Ath是频率幅值的阈值；Amax是所有瞬时频率峰值的最大幅值。

3 试验验证

为了验证CWVD的优点，本文设置了数值信号用于验证本文提出的方法并与STFT、WVD和伪WCD的处理结果相比较。

3.1 多项式CWVD的验证

为了验证多项式CWVD的性能，测试中使用的数值信号为

sin(80πt2)+sin(80πt3)

0≤t1≤5,0≤t2≤2,3≤t3≤5

(8)

信号s1(t)由三部分组成，其中两部分是同频率的单频信号，但在时域上是断开的，信号采样频率是200 Hz，不同方法的测试结果如图2所示。

从图2可以看出，对于信号s1(t)，STFT的时频表示没有交叉项，但是能量集中性能差；而WVD则根本无法实现时频表征；伪WVD虽然能量集中，但是无法抑制交叉项；而本文提出的基于多项式核的CWVD能量集中性能好，且完全抑制了交叉项。

3.2 样条CWVD的验证

为了验证样条多项式CWVD的性能，设置测试信号如下：

s2(t)=sin(-200cos(0.4πt)+100πt)+

sin(20πt+16πt2)

0≤t≤5

(9)

信号s2(t)含有两个分量，一个是调频斜率为16 Hz/s的调频分量，另一个的瞬时频率为sin(0.4πt)+50，采样频率为200 Hz，不同方法的测试结果如图3所示。

由图3可以看出，对于信号s2(t)，STFT能量集中性能依然很差，无法精确实现时频表征；而WVD则无法实现时频表征；伪WVD还是存在交叉项；而本文提出的基于样条核的CWVD能量集中性能好，并完全抑制了交叉项。

4 转速估计的应用

在工业领域，转子转速的估计十分关键。矢量控制方法是电机在高性能调节中估计转子转速的标准方法。目前转速估计的研究有许多，如针对基于电动势过零点检测法控制的直流电机需要根据转速延时换相问题提出的不受环境温度变化影响的新型转速估计方法[7]。本文利用CWVD实现转速的估计。图4是信号采集系统，CWVD用于估计与IFs相关的瞬时速度。电机的输出速度是一个两项多项式函数，因此例中使用的是多项式CWVD。为了抑制采集信号中的噪声，采用了短时信号去除方法，并与STFT作对比，结果如图5所示。在估计与IFs相关的瞬时速度信号时，STFT的能量集中性能差，而CWVD的结果显示能量集中，可以更精确地估计转速，证明新方法在实测信号应用中依然表现出良好的性能。

5 结束语

本文提出的CWVD方法将WVD方法与线调频小波变换结合，利用频率旋转算子和频移算子，将非线性、多分量、非平稳的信号转换为单频信号，然后将转换后的信号进行WVD处理，完全抑制了WVD中通常存在的交叉项，解决了时频分析复杂非平稳信号的技术难点，并表现出了良好的能量集中性能，是一种高效的参数化时频表示方法。