类9阶KdV方程的有理解

韩 笑，魏光美

(北京航空航天大学 数学科学学院，北京 100191)

0 引言

随着近代力学和物理学对非线性现象研究的逐步深入，不断地涌现出大量具有非线性色散或耗散的非线性发展方程。关于非线性发展方程的求解方法有逆散射方法、Bäcklund变换[1-2]、Hirota 双线性方法[3-5]以及各种直接法如 Tanh 法[6-8]等。这些方法中，Hirota 双线性方法是由著名的日本数学家、物理学家 Ryogo Hirota 提出，他定义了一种新的微分算子——Hirota 双线性算子。在 Hirota 双线性算子的基础上，马文秀教授提出了广义双线性微分算子[9-11]，广泛应用于求解非线性方程有理解的过程中。

在非线性问题中，KdV 方程是一类重要的物理模型，经常用于模拟浅水波、分层内部波和离子声波等。在过去几十年里，人们投入大量工作来研究 3 阶和 5 阶 KdV 方程[12-13]，而7 阶的 KdV 方程和9阶KdV方程则相对较少。文献[14]利用广义双线性算子的定义，将7阶KdV方程基于素数p=3,5,7,扩展成3个不同的类7阶KdV方程，并利用符号计算求出了双线性方程的多项式解，进而求出了类7阶KdV方程的有理解。文献[15]通过tanh-coth方法和Hirota方法分别求出了9阶KdV方程的单孤子解和其他形式解。本文引入广义双线性微分算子,并基于素数p=2,3,5,7的4种广义双线性算子得到了4个类9阶KdV方程，改变了f(x)的设法，并通过Mathematica符号计算，得到了4个广义双线性微分方程f关于空间变量x的10次以内的全部多项式解。基于贝尔多项式理论，得到了4个类9阶KdV方程的21种有理解并对这些解进行了归类。

1 9 阶KdV 方程

9 阶 KdV 方程[15]的表达式为

ut+45uxu6x+45uu7x+210u3xu4x+

1260uuxu4x+630u2u5x+9450u2uxu2x+

3150u3u3x+4725u4ux+u9x=0

(1)

式中u为关于时间变量t和空间变量x的实函数；uix(i=1,2,…,9) 为函数u关于变量x的i阶偏导数。

通过变换

u=2(lnf)xx

(2)

可得到方程 (1) 的双线性形式[3]为

(3)

其中D为 Hirota 双线性算子，定义如下[4]：

(4)

2 类9阶KdV方程

基于素数p，将双线性算子扩展成如下广义双线性算子[9]：

(5)

式中：

分别令p=2,p=3,p=5和p=7,将双线性方程 (3) 扩展成如下广义双线性微分方程：

(6)

(7)

(8)

(9)

将方程(6)，方程(7)，方程(8)和方程(9)分别转化成如下非线性发展方程：

2fxtf-2fxft+2f10xf-20f9xfx+90f8xf2x-

240f3xf7x+420f6xf4x-252(f5x)2=0

(10)

2fxtf-2fxft+90f8xf2x+252(f5x)2=0

(11)

2fxtf-2fxft+2f10xf+252(f5x)2=0

(12)

2fxtf-2fxft+20f9xfx+420f4xf6x-

252(f5x)2=0

(13)

由贝尔多项式的一般理论，通过因变量变换

u=2(lnf)x

(14)

将非线性发展方程(10)，(11)，(12)和方程(13)转化成如下4个类9阶KdV非线性微分方程：

(15)

23 040u3u6x+46 080uuxu6x+5 760u2u7x+

11 520uxu7x=0

(16)

537 600u3uxxu3x+1 612 800uuxuxxu3x+

322 560u2u2xu4x+645 120uxuxxu4x+322 560uu3xu4x+

107 520uuxxu5x+53 760u3xu5x+7 680u3u6x+

46 080uuxu6x+30 720u2xu6x+5 760u2u7x+

11 520uxu7x+2 560uu8x+512u9x=0

(17)

268 800×u3u2xu3x+806 400uuxuxxu3x+

241 920u2u2xu4x-161 280uxu2xu4x+80 640uu3xu4x-

11 520u3u6x+23 040uuxu6x+5 760u2u7x+

1 280uu8x=0

(18)

因此f是方程 (6)～(9) 的解当且仅当u=2(lnf)x是方程 (15)～(18) 的解。

本文讨论方程 (6)～(9) 的多项式解，进而生成类 9 阶 KdV 方程 (15)～(18) 的有理解。

3 类9阶KdV方程的有理解

3.1 p= 2时的有理解

这一节讨论广义双线性微分方程 (6) 的多项式解进而求出方程 (15) 的有理解。利用符号计算工具软件 Mathematica，可以得到方程 (6) 的x的10次以内的多项式解：

(19)

具体地可以得到方程 (6) 的如下5类多项式解：

f1=x+k0

(20)

f2=x2+k1x+k0

(21)

f3=x3+k2x2+k1x+k0

(22)

f4=x4+k3x3+k2x2+k1x+k0

(23)

(24)

式中k0,k1,k2,k3,k8为任意常数。

分析发现，若f(x,t)为双线性方程的解，则g(x,t)=a(t)f(x,t)也满足原双线性方程，因此方程(6)的多项式解可扩展为：

f1=a(t)(x+k0)

(25)

f2=a(t)(x2+k1x+k0)

(26)

f3=a(t)(x3+k2x2+k1x+k0)

(27)

f4=a(t)(x4+k3x3+k2x2+k1x+k0)

(28)

(29)

式中：a(t)为关于t的任意函数；k0,k1,k2,k3,k8为任意常数。

通过变换u=2(lnf)x，上述多项式解生成了方程(15)以下5族有理解：

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

式中

式中k0,k1,k2,k3,k8为任意常数。

3.2 p= 3时的有理解

首先考虑方程(7)的多项式解，然后通过方程(7)的多项式解求出方程(16)的有理解。

同理，可以找到方程(7)的如下6类多项式解：

f1=a(t)(x+k0)

(35)

f2=a(t)(x2+k1x+k0)

(36)

f3=a(t)(x3+k2x2+k1x+k0)

(37)

f4=a(t)(x4+k3x3+k2x2+k1x+k0)

(38)

(39)

(40)

通过变换u=2(lnf)x，上述多项式解生成了方程 (16) 以下6族有理解：

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

式中

式中k0,k1,k2,k3,k8,k9为任意常数。

3.3 p= 5时的有理解

本节考虑方程 (8) 的多项式解进而求出方程 (17) 的有理解。同理，可得到方程 (8) 的5类多项式解：

f1=a(t)(x+k0)

(47)

f2=a(t)(x2+k1x+k0)

(48)

f3=a(t)(x3+k2x2+k1x+k0)

(49)

f4=a(t)(x4+k3x3+k2x2+k1x+k0)

(50)

(51)

上述5类多项式解通过变换u=2(lnf)x生成了方程 (17) 的以下5族有理解：

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

式中

式中k0,k1,k2,k3,k8为任意常数。

3.4 p= 7时的有理解

同理求出方程 (9) 的如下5族多项式解：

f1=a(t)(x+k0)

(57)

f2=a(t)(x2+k1x+k0)

(58)

f3=a(t)(x3+k2x2+k1x+k0)

(59)

f4=a(t)(x4+k3x3+k2x2+k1x+k0)

(60)

(61)

上述5类多项式解通过变换u=2(lnf)x生成了方程 (18) 的以下5族有理解：

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

式中

式中k0,k1,k2,k3,k8为任意常数。

4 结束语

本文通过符号计算，研究了类9阶KdV方程的有理解。首先利用基于素数p=2,3,5,7的广义双线性微分算子得到了4个广义双线性微分方程，进而得到了4个相应的类9阶KdV方程。利用符号计算工具软件Mathematica，求得广义双线性方程(6)～(9)关于x的10次以内的全部多项式解，构造了类9阶KdV方程(15)～(18)的21类有理解。发现基于素数p=2,3,5,7的有理解中分母x的次数小于等于4时的有理解是完全一样的。本文改变了求解多项式解的设法，进而求出了双线性方程10次以内的全部多项式解。通过本文的研究可以注意到，通过新设法求解多项式解会更简单、更全面，因此对于高阶KdV方程的有理解研究具有借鉴意义。我们将进一步研究更高阶方程的有理解。