上证50ETF期权隐含波动率曲面的非参数拟合

摘 要：在Black-Scholes期权定价模型中，波动率是假设在期权存续期内保持不变的，而通过对我国上海证券交易所的50ETF期权合约交易数据分析发现，其隐含波动率有着明显的微笑表现。因此，本文根据BS隐含波动率函数对上证50ETF期权进行了非参数拟合，通过所建立的隐含波动率曲面发现了其具有的波动率微笑特征，这为未来期权价格的预测模型的建立奠定了基础。

关键词：上证50ETF期权;期权定价;隐含波动率曲面;非参数拟合

中图分类号：F83文献标识码：A文章编号：1008-4428（2019）06-0137-02

一、 引言

2015年2月9日，上证50ETF期权在我国上海证券交易所开始交易，A股迎来了股票期权时代。目前，我国的期权主要有场内期权以及场外期权，相对于场外期权来说，场内期权由政府监管和行业自律来保障其交易，具有集中交易、标准化合约以及高流动性、交易量大等特点，因此对场内期权合约进行波动率曲面建模对投资组合的风险管理有着重要的意义。

在金融产品的交易市场中，波动率通常被作为衡量投资风险程度大小的指标，一般来说，波动率越大，风险程度越高。Black and Scholes（1973）提出的BS期权定价模型，可应用于对无红利支付的欧式期权定价中，以看涨期权定价公式为例：

其中，C为是看涨期权价格，S为标的资产价格，K为期权的行权价格，r为无风险利率，τ 为剩余有效时间，σ为标的资产价格收益率的波动率，Nd1、Nd2为累计正态分布概率函数。该定价公式给出了期权价格C与5个参数（S，K，τ，r，σ）之间的关系，隐含波动率即是将从市场上得到的期权价格代入该模型中反推得到的波动率。本文考虑采用多项式拟合方法对上证50ETF期权的数据进行模拟，并根据隐含波动率、行权价格以及期限三者之间的关系建立隐含波动率曲面。

二、 数据的描述和处理

根据BS定价公式可得出看涨期权隐含波动率的函数，即：

其中，Ci为从市场上观察到的上证50ETF期权合约的价格，σi为隐含波动率。本文选取了2019年3月1日上证50ETF的交易数据，在这一天有存续期为21天、56天、119天和210天的期权报价数据，当日标的资产价格S为2.802，将当天的中债国债收益率曲线作为无风险利率曲线，得到r为1.8491%，代入上式并得到隐含波动率的散点分布图，如图1所示：

由图1可以看出，在每个存续期时，波动率曲线的分布有着明显的微笑特征。

本文基于上述的市场交易样本数据，根据上证50ETF期权的不同行权价格进行多项式插值形成隐含波动率曲线，并对不同的到期时间再进行插值形成隐含波动率曲面。

三、 隐含波动率曲线的拟合

在非参数估计中，将离散的数据以光滑的函数表示的方法有很多，如线性光滑、基函数展开和局部多项式拟合等，本文采用多项式拟合方法来拟合在每个存续期时期权的隐含波动率曲线。

根据樣本数据中已有的期权合约价格和行权价格以及到期时间，采用牛顿二分法在BS期权定价模型中进行迭代，得到对应的隐含波动率，并采用二次多项式拟合构建波动率微笑曲线，如图2所示：

由图2可知，在固定的存续期下，随着执行价格的不断增大，期权的隐含波动率先减小后增大，且在平值期权附近有最小值;其次，随着到期时间的临近，期权的隐含波动率增大，这说明在即将到达期权执行时间时，期权的交易越活跃;最后，对于合约期限较短的样本合约，其隐含波动率曲线呈现出更加明显的波动率微笑特征，而合约期限较长的样本，隐含波动率曲线趋于平缓。

四、 隐含波动率曲面的拟合

基于上述已得到的隐含波动率曲线，再对四个存续期进行多项式插值并拟合，便可得到观测日下的上证50ETF看涨期权的隐含波动率曲面，如图3所示：

如图3所示，由通过多项式拟合对上证50ETF期权建立的隐含波动率曲面可知，在观察日2019年3月1日，样本数据的隐含波动率和行权价格有着明显的波动率微笑特征，此外，当期权合约临近到期时，其微笑程度更明显，波动率曲线更为陡峭，而当到期时间较远时，期权的波动率曲线更为平缓。

五、 结论和展望

本文通过对观察日交易市场上的实际期权合约数据，构建出了隐含波动率曲线以及曲面模型，发现了50ETF期权市场中存在着较为显著的隐含波动率微笑现象，且对于存续期较短的期权合约更为明显。

首先，本文在构建上证50ETF期权的波动率微笑及波动率曲面模型时，主要采用的是非参数方法中的插值法。而通常来说，非参数法虽然灵活性更高，能够针对较为复杂的隐含波动率曲面建模，但它的应用需要较为严格的条件，例如期权的价格设定需要满足无套利条件。且非参数法无充足的理论基础支持，对于数量较少的样本数据，在采用非参数法构建隐含波动率曲线时，在边界区域往往会产生较大的估计误差，因此采用非参数法估计隐含波动率曲面，存在较大的局限性。

其次，本文选取的观察日中，50ETF期权合约只有四种合约到期时间，样本的数据较少，且行权价格的范围也较小，建立的模型缺乏较高的精度。

最后，随着50ETF期权市场的发展，隐含波动率也会受到投资者的构成和市场交易环境的影响，因此应建立一个更全方面、更具适用性的隐含波动率模型。

参考文献：

[1]ZHANG C Q，ZHAO N，KONG D. New developments on functional data analysis[J]. Journal of GuangzhouUniversity：Natural Science Edition， 2006，5（3）：1-3.

[2]Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Politics，1973，81（5-6）：637-59.

作者简介：

谢智敏，女，江西新余人，江西财经大学学生，研究方向：证券投资。