全局最优的SLNR预编码功率分配算法

黄天宇，马林华，胡 星，黄绍城，孙康宁，刘士平

(空军工程大学 航空航天工程学院，西安 710038)

0 引 言

多用户多输入多输出系统(multi-user multiple-input multiple-output，MU-MIMO)是利用空域资源进行多用户干扰消除，可实现同时同频与多用户通信，能够使系统容量得到显著地提高。线性预编码是在发射端进行用户间干扰消除的技术，由于其适合于大规模MIMO的发射技术，近几年受到了广泛关注[1-3]。

基于信漏噪比(signal-to-leakage-and-noise ratio，SLNR)预编码是基于信漏噪比最大的原则设计的，在诸多线性预编码算法中性能较为优异[4-5]。但是SLNR预编码是基于等功率分配提出的，实际情况是基站天线与不同用户间的信道质量不同，根据信道情况，为每个用户分配适当的发射功率，将会使系统性能大大提升。

文献[6]和[7]分别提出了基于信道范数和用户信漏噪比值的SLNR预编码动态功率分配算法，但仅基于固定的预编码矩阵来分析功率分配问题，没有考虑SLNR预编码矩阵与发射功率的匹配问题，造成失配；文献[8]提出一种基于拉格朗日乘子法的迭代算法，虽解决了失配问题，但此优化问题为非凸优化问题，拉格朗日乘子法是凸优化算法，在非凸优化问题中只能得到局部最优解，并且拉格朗日乘子法无法控制其求极大值还是极小值，造成求解不稳定；文献[9]提出一种基于几何规划(geometric programming，GP)的迭代算法，将非凸的目标函数近似转化为凸函数，用GP方法进行求解，不过需要进行功率与预编码矩阵之间相互迭代的操作。

由于SLNR预编码矩阵是与发射功率有关，并且是求解矩阵特征向量的形式，无法直接代入到功率分配问题的目标函数中，目标函数中包含发射功率和预编码矩阵两类变量，所以以往方法只能通过两变量迭代的方式进行求解,造成性能不佳。针对此问题，我们通过推导，将功率分配的目标函数转化为仅含发射功率一种变量的形式，此功率分配问题便转化为非凸优化问题，不需要两变量迭代便可求出全局最优解。为解决此非凸优化问题，首先提出一种基于鸟群算法(bird swarm algorithm，BSA)的解决方法，此算法可求得全局最优的功率分配方案；为解决该算法复杂度高的问题，又提出一种基于GP的近似全局最优算法。仿真发现，基于BSA的解决方案，对系统总速率有明显地提升，并且提升效果随发射功率、基站天线数及用户数变化都具有很好的保持；本文基于GP的解决方案，对系统总速率的提升效果不如BSA明显，并且提升效果随发射功率及基站天线数增加而减小，但算法更加简单，误码率性能更优。

符号说明：‖·‖表示取F-范数，|·|表示取复数模，(·)T，(·)*和(·)H分别表示矩阵的转置、共轭和共轭转置，maxeigvec(·)表示求解矩阵最大特征值所对应的特征向量。

1 系统模型

1.1 系统模型

本文研究的是时分双工(time division duplexing，TDD)单小区下行MU-MIMO系统，基站通过上行导频获取信道状态信息。基站装配M根天线，用户为单天线，用户数为K。基站用M根天线占同样的时频资源给K个用户发信息，系统模型如图1所示。

图1 系统模型Fig.1 System model

用户k的接收信号为

(1)

(1)式中：hk=[h1k,…,hMk]T为信道矩阵H的第k列，表示基站M根天线与用户k之间的信道向量；wi=[w1i,…,wMi]T为预编码矩阵W的第i列；pi是基站给用户i的发射功率；si是基站给用户i发送的信息；nk是用户k设备的加性高斯白噪声，服从标准正态分布，rk，pi，si，nk均为标量。

信道hk可建模为小尺度衰落与大尺度衰落的乘积，即hk=[α1k,…,αMk]Tβk，其中，αmk表示基站第m根天线与用户k间的小尺度衰落，βk为用户k与基站天线阵间的大尺度衰落。

第k个用户的信干比为

(2)

第k个用户设备的可达速率为

Rk=log(1+SINRK)

(3)

问题一约束条件为总发射功率不大于PT,目标函数是Csum，求解合适的P，使系统总可达速率Csum最大，即

(4)

1.2 SLNR预编码算法

SLNR预编码的设计准则是让信漏噪比达到最大[4]。第k个用户的信漏噪比定义为

(5)

SLNR预编码向量为

(6)

2 全局最优的功率分配算法

在诸如匹配滤波(matched-filter,MF)预编码、迫零(zero-forcing,ZF)预编码等简单的线性预编码算法的功率分配问题中，预编码矩阵W是与P无关的，待优化的仅P一组变量，此时问题一为非线性优化问题，可采用凸优化和注水等算法进行解决[10]。

由公式(6)可发现，SLNR预编码矩阵与P有关，SLNR预编码的功率分配问题中有待优化的变量不仅是发射功率向量P，还有预编码矩阵W。以往的SLNR预编码功率分配算法都是采用P和W两变量迭代的方式进行求解，即固定其中一个变量，优化另一个，交替进行，直到收敛[8-9]。但迭代算法无法保证解的全局最优性，因此，考虑寻求全局最优的SLNR预编码功率分配算法。

2.1 目标函数的导出

传统SLNR预编码功率分配算法无法求得全局最优解的原因在于目标函数中包含P和W这2组待优化变量，若能将目标函数整理为仅含单变量的形式，便可无需迭代，直接求得全局最优的功率分配方案。本节便是以公式(6)为变量P和W之间的纽带，推导出仅含单变量的SLNR预编码功率分配的目标函数。

(7)

(8)

(9)

(10)

系统总可达速率便可以表示为

(11)

(11)式中，

(12)

(13)

其中，目标函数为非凸函数，所以，SLNR预编码功率分配问题便转化为有约束条件非凸优化问题。

2.2 基于BSA全局最优的功率分配算法

粒子群算法等各类智能优化算法可精确地求得非凸优化问题的全局最优解。BSA算法是Meng Xiangbing于2015年最新提出的，灵感来自于鸟群觅食、警觉、迁徙行为的一种元启发式群体智能优化算法，在解决非凸优化问题时，被证明比传统的粒子群算法和差分进化算法具有更快的收敛速度、更高的求解精度[11]。因此，本节提出一种基于BSA的寻求SLNR预编码全局最优功率分配方案的解决办法。

2.2.1BSA算法

在鸟群中，所有个体共享信息，个体有3种行为：觅食、警觉和迁徙。

在一次迭代中，个体随机选择进行觅食行为或警觉行为。在进行觅食行为时，个体往本个体历史最佳位置和群体历史最佳位置的合方向移动，公式如下

(14)

在进行警觉行为时，由于在群体边缘的粒子更容易趋于坏值，为规避趋于坏值的危险，粒子往群体中心移动，在此过程中，个体间会存在竞争行为，适应性函数值好的粒子将会在竞争中胜出。警觉行为遵循如下公式

(15)

(15)式中，

(16)

(15)—(16)式中：k(k≠i)随机从1和N中取值；a1，a2是[0,2]的正常数；pFiti表示粒子i的最好适应性函数值；sumFit表示鸟群中所有个体最好适应性函数值的和；meanj为鸟群中所有粒子第j维位置的平均值；ε是为避免以0为除数而引入的正常数。

当迭代次数超过设置的常数FQ时，粒子进行迁徙行为，所有粒子划分为2类：生产者和乞讨者。生产者随机飞行，乞讨者跟随生产者飞行，分别遵循如下公式

(17)

(18)

(17)—(18)式中，randn(0,1)表示一个服从标准正态分布的随机数，k∈[1,2,…,N],k≠i。FL∈[0,2]，确保乞讨者追随生产者觅食。

由于警觉和迁徙行为的存在，增大了个体多样性，避免算法陷入早熟，提高了求取全局最优解的稳定性。

2.2.2 基于BSA的功率分配算法

由于BSA解决的是求最小值问题，所以将问题二目标函数的相反数作为BSA的适应性函数。算法中，粒子的位置对应了一种功率分配方案，每个粒子的位置坐标共有K维，其中，第j(j∈[1,K])维位置的值就是对第j个用户分配功率的大小。将适应性函数值作为功率分配方案质量好坏的评价标准，适应性函数值越小，方案越有效。算法中，首先随机生成N个功率分配方案，迭代过程中，此N个功率分配方案按照2.2.1节介绍的规则进行修正，到达迭代次数上限后，评估每一种方案的适应性函数值，将其中质量最好的Popt作为最后的功率分配方案。具体流程如下。

算法1基于BSA的SLNR预编码功率分配算法。

输入：N:粒子数,T:迭代次数上限,FQ:鸟迁徙频率,

PROB: 执行觅食行为的阈值,

C，S，a1，a2，FL:五常数,H:信道矩阵;

初始化：t=0,

Whilet

Ift%FQ≠0

Fori=1:N

If rand(0,1)

Else

End if End for

Else

其余个体随机划分为生产者和乞讨者;

Fori=1:N

Ifi为生产者

Else

End if End for End if

Fori=1:N

End if End fort=t+1;

End while

2.3 基于GP近似全局最优功率分配算法

2.2节提出一种基于智能优化算法的解决方案，虽可较为精确求得全局最优解，但却拥有较高的复杂度，预编码的功率分配需要跟踪信道快衰落变化，需要较高的实时性，若采用此解决方案，将会对基站计算能力提出很高要求。为缓解功率分配算法计算压力，本节提出一种基于GP的近似全局最优的功率分配算法。

凸优化算法是解决优化问题的一种最简单的办法[12]，但问题二为非凸优化问题，无法采用传统凸优化算法直接求得最优解。GP方法可以将拥有特定形式的优化问题转化为凸优化问题[13]，进而可采用凸优化算法进行解决，因此，考虑将问题二目标函数近似转化为GP问题标准形式，进而采用凸优化方法解决问题二，文献[14]已证明此种近似方法所求得的解将与原问题的解非常接近。

(19)

(19)式中，

(20)

对(19)式做近似，常用的近似方法有单压缩法和双压缩法，文献[15]证明，双压缩法将比单压缩法有更快的收敛速度，因此，我们选择双压缩进行近似，得到

(21)

(21)式中，

(22)

(21)—(22)式中，L表示迭代次数。

通过迭代的方法，每次迭代都解决一次GP问题，直到收敛，便得到最后的近似最优解。将(21)式看作第L次迭代的目标函数，则第L次迭代的优化问题可以表示为问题三。

问题三约束条件为总发射功率不大于PT，目标函数是F(P(L))，求解合适的P(L)，使F(P(L))最小，即

(23)

整个算法过程如下。

算法2基于GP的功率分配算法。

初始化P(0)p1=p2=…pK=PT/K,L= 0;

Do

L=L+1;

用内点法解决问题三的GP问题,得到P(L);

End

不同于文献[9]基于GP的算法，本文算法不再需要W与P的外迭代操作。

3 仿真分析

将本文提出的基于GP的算法和基于BSA的算法与以下算法作对比。

1)文献[6]中基于信道范数的动态功率分配算法；

2)文献[7]中基于用户信漏噪比的自适应功率分配算法；

3)文献[9]中基于GP的迭代算法。

采用文献[16]中的仿真环境，小区半径r=1 000 m，小区内用户随机分布在距基站rl=100 m 外的任意位置。距离基站rk的用户k到基站天线的大尺度衰落βk=zk/(rk/rl)ν，阴影衰落系数zk=8 dB，路径损耗指数ν=3.8。小尺度衰落为均值为零、单位方差的复高斯随机变量。发射信号调制方式为正交相移键控(quadrature phase shift keying,QPSK)。

BSA中参数设置会对算法性能产生影响，文献[11]已对BSA算法中参数的设置进行了说明和分析。本文仿真关注基于BSA功率分配算法性能与其他算法性能比较，对BSA参数设置影响不做重点考察，遂参考文献[11]中的分析，对本文算法参数进行设置，如表1所示。

表1 基于BSA算法参数设置

图2、图3给出了M=3，K=3时，以上算法系统总速率和误码率随基站总发射信噪比(总发射信噪比定义为基站总发射功率与单用户平均噪声功率比值的对数形式)变化情况。

图2 不同算法总速率与发射信噪比关系曲线Fig.2 Curves of the relationship between sum rate of different algorithms and transmit SNR

图3 不同算法误码率与发射信噪比关系曲线Fig.3 Curves of the relationship between BER of different algorithms and transmit SNR

由图2可见，本文基于BSA的算法，由于寻求到更加精准的全局最优解，使系统总速率相对等功率分配有了显著提升，并且发射功率越高，提升越显著。本文基于GP的算法，相对等功率分配性能有所提升，提升程度随发射功率增加而减小。本文基于GP算法基于单变量目标函数进行求解，可直接求得近似全局最优解，性能要优于文献[9]基于GP的迭代算法。基于信道范数和信漏噪比的算法，由于预编码矩阵与发射功率的失配效应，其性能最差。

由图3可见，等功率分配情况下误码率性能最好，本文所提2种算法在总发射信噪比低于5 dB时，误码率性能要优于基于信道范数和基于信漏噪比的算法，但当发射功率再升高时性能不及这2种算法。本文基于GP的算法虽对系统总速率提升不及基于BSA的算法，但误码率性能要优于基于BSA的算法，并且本文基于GP的算法误码率性能要优于文献[9]中既有GP的迭代算法。

图4给出了发射信噪比为10 dB，K=3时，以上算法系统总速率随基站天线数的变化情况。由图4可见，本文基于GP的算法性能随基站天线数的增加提升效果越来越不明显，所以，本文基于GP的算法更加适合于基站天线数较少的情况。本文基于BSA的算法，随基站天线数变化始终保持了对系统总速率可观的提升，是适合于大规模MIMO的功率分配算法。

图4 不同算法总速率与基站天线数关系曲线Fig.4 Curves of relationship between sum rate of different algorithms and the number of base station antennas

图5给出了发射信噪比为10 dB，M=30时，以上算法系统总速率随用户数的变化情况。由图5可见，文献[9]基于GP的迭代算法，相比于等功率分配，在不同用户数下，对性能均有少许提升，本文GP算法对性能有进一步提升。本文基于BSA的算法始终保持了最优的性能，并且随用户数变化，性能提升效果能得到很好的保持。

图5 不同算法总速率与用户数关系曲线Fig.5 Curves of relationship between sum rate of different algorithms and the number of users

设置发射信噪比为10 dB，K=3，M=30，重复仿真，得到50次仿真的系统总速率随BSA迭代次数的变化情况如图6所示。由图6可见，本文基于BSA算法迭代次数在10次左右时，虽还不能保证搜索到最优解，但是系统总速率已经得到了明显的提高，这一特点体现了BSA较高的求解效率，保证了算法能够及时跟踪信道快衰落变化，根据即时信道状态信息，快速找到较好的功率分配方案，弥补了该算法复杂度高的缺点，使其能够适用于实际应用。

图6 本文算法总速率与迭代次数关系曲线Fig.6 Curves of the relationship between sum rate of the proposed algorithm and the number of iteration

4 时间复杂度分析

执行BSA算法过程中，产生、评估和更新过程计算压力最大，为便于分析，其他步骤的计算量便可忽略。由文献[11]可知，产生、评估和更新过程计算的时间复杂度相同，都是O(TN)，所以，基于BSA的功率分配算法总的时间复杂度为O(TN)。

文献[9]中基于GP的迭代算法，设达到收敛时预编码矩阵与发射功率的迭代次数为T1，采用双压缩近似的办法将目标函数近似为GP形式，达到收敛需进行迭代次数为T2，为解决每一个GP问题要采用内点法，内点法所需迭代次数为T3，则文献[9]中基于GP的迭代算法总的时间复杂度为O(T1T2T3)。本文基于GP的算法由于不需要预编码矩阵与发射功率的外部迭代，所以，时间复杂度为O(T2T3)，要小于文献[9]中基于GP迭代算法的复杂度。同时，T2，T3的数量级也要小于T，N，所以本文基于GP算法的复杂度要小于基于BSA算法的复杂度。

5 结束语

针对SLNR预编码功率分配问题，基于总可达速率最大化原则，推导了仅含单变量的目标函数，将功率分配问题转化为非凸优化问题；并提出一种基于BSA的全局最优解决方案和一种基于GP的近似全局最优的解决方案。由仿真和分析发现，基于BSA的解决方案，对系统总速率有明显的提升，并且提升效果随发射功率、基站天线数及用户数变化都具有很好的保持，但缺点是误码率性能不理想；本文基于GP的解决方案，对系统总速率的提升效果不如BSA明显，并且提升效果随发射功率及基站天线数增加而减小，但相比基于BSA的算法，算法更加简单，误码率性能也有所提高。

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