基于变分偏微分方程的双参数图像去噪模型

胡晓红，陈大卿

(重庆邮电大学数理学院，重庆400065)

0 引言

在图像的获得、传输和存储过程中，由于受多种原因影响，图像质量会有所下降，典型表现为图像含有噪声、模糊等。而在众多的应用领域，需要清晰的、高质量的图像，在这种情况下，图像恢复技术应运而生。图像恢复的目的是消除或者减轻图像获取和传输过程中所发生的品质退化现象，逼近没有退化的理想图像，提高图像视觉效果。

设Ω⊂R2为一有界开集，是图像的定义域。u:Ω→R为实际原始真实图像，u0为退化图像，则图像退化过程一般可描述为［1］(1)式中:η为噪声;T为表示确定性退化的算子。图像恢复就是要尽可能降低或消除观察图像u0中的失真，得到一个高质量图像。一般来说，这个问题是病态的［2］，即由(1)式中的u0所解出的u不能保证它的存在性、唯一性及稳定性。

近年来，利用变分正则化方法研究图像恢复问题得到了许多重要模型和方法，其中最典型的是Rudin，Osher and Fatemi［3－4］提出的全变差(TV)正则化模型，也称为ROF模型，该模型在图像恢复中得到了成功应用。典型例子是如下正则化模型

(2)式中:第一项是忠诚项，保证恢复的图像u保留观察图像u0的主要特征;第二项是正则项，保证图像恢复光Δ滑，以去除噪声，同时保证极小化问题是良态的;为梯度算子;λ0为尺度参数，平衡忠诚项与正则项的作用。该模型在u∈W1，2中存在唯一解，且满足 Euler－Lagrange 方程

(3)式中，Δ为Laplace算子。通过最速下降法，可导出偏微分方程初边值问题为

1 双参数的变分模型

问题(4)中的Laplace算子具有各项同性的光滑性，因此该模型对均匀区域来讲，能够很好地去除噪声，但同时磨光了边缘等性质，不利于计算机视觉等应用。我们改进了上面的模型，采用双参数形式给出下列泛函

(5)式中:u ∈ W1，2={u ∈ L2(Ω); Δ∈(L2(Ω))2}，λ0，β0。利用极小极大原理中的引理1，我们可以证明定理1。

引理1［5］设 f满足(H1):f(x，u，ξ)≥ a(x)+，其中，ξ为向量形式的含参变量;(H2):ξ→f(x，u，ξ)是凸的;(H3):∃u0∈W1，p(Ω)，使得 F(u0)+∞ ，则∫Ωf(x，u，Δu)dx}存在一个解，当且仅当f(x，u，ξ)关于u，ξ是严格凸时，解是唯一的。

定理1的证明 设J(u)=∫Ωf(u，Δu)dx，则

所以f关于ξ为严格凸函数。由于

由(5)式有

根据泛函一阶变分为零达到极小值，即

可以导出下列偏微分方程

这是基于变分法的双参数去噪模型，该方程等价于能量函数的最陡下降，即将图像视为一个空间和时间函数

2 双参数的变分模型的数值算法

对于大部分的偏微分方程的定解问题很难有显式计算格式，即使存在也往往很复杂。因此我们用差分方法来近似求解(12)式。对于的散度形式可进行如下化简

在二维图像坐标系下，(14)式可选取时间步长为Δt，网格步长为h=1。可以离散为

从迭代式(16)可见，在每一步的循环中都使用了噪声图像u(0)，它包含了关于原始奇异特征和跳跃边缘的重要信息，这就使得图像中内在的奇异性不会随着循环的增加而逐渐消失。(16)式中，当λ =0时，得到

u(n)=u(n－1)+ Δt·

(18)式中，σ2为图像的噪声方差。由于(17)式只沿切线扩散，所以无法避免迭代过程中产生的裂痕。

当λ=β时，利用

得到

3 数值实验结果

为了说明双参数模型的有效性，我们以Baboo和Lena噪声图像为例，比较双参数模型和ROF模型去噪效果，如图1，图2所示，Baboo和Lena图像都是以Δt=0.2进行迭代。

由图1，图2可知，本文所提出的双参数模型去噪效果明显，人眼能直接感受图像质量的改善。数值上，我们用峰度信噪比［7］(PSNR)来衡量ROF模型和双参数模型的去噪性能。其中

图1 Baboo噪声图像及两种模型去噪图像Fig.1 Noise image of Baboo and two kinds of models for denoising image

图2 Lena噪声图像及两种模型去噪图像Fig.2 Noise image of Lena and two kinds of models for denoising image

各项数据如表1所示。

表1 两种去噪方法的峰度信噪比比较Tab.1 Comprison of PSNR between of two denoising methods

通过图1—2及表1的对比，双参数模型的去噪有一定填补各项异性裂痕的作用，同时噪声图像的PSNR有1～2 dB的提升。

4 结论

Rudin，Osher and Fatemi提出的ROF模型在图像恢复中得到了成功的应用。但是由于Laplace算子具有各项同性的光滑性，在去除噪声的同时也磨光了边缘等性质。本文引入双参数模型，在泛函中不但保持项，还增加项。通过双参数的控制，在磨去噪声的同时能更好地保持边界等性质。根据给出的客观图像评价标准峰度信噪比，得出双参数模型在图像去噪方面有一定的提升。

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