一种基于衰减系数的混沌时间序列预测法

钱 锋，王可人，焦传海

（电子工程学院，安徽合肥 230037）

0 引言

20世纪80年代以来，混沌理论在天气预报、电力负荷预测调度、信号处理、自动控制、信息安全等领域中得到了广泛应用［1-6］，其中，混沌时间序列预测在许多领域有着广阔的应用前景，已经成为一个非常重要的研究方向。用相空间重构［7-9］来预测时间序列有多种方法，根据拟合相空间中吸引子的方式可分为全域法和局域法两种。现有的混沌时间序列预测方法中，局域线性预测方法计算量小，简单易行，在实际中应用比较广泛。

吕金虎等［10］提出了用于混沌时间序列预测的加权一阶局域法，并将其应用于电力系统历史负荷数据序列进行预测。由于引进了权值，加权一阶局域法有较好的自适应能力和较高的预测精度，在交通流量预测［11］、谐波电流预测［12］、低压电力线信道噪声预测［13］等方面也得到了成功运用。

文献［14］对文献［10］的局域线性拟合提出改进，仅用邻近相点中与预测值相关性最大的分量进行一阶拟合，去除其他干扰分量，减少计算量的同时提高了预测精度。文献［13］从邻近点选取的角度提出改进，基于邻近点的各分量对预测的影响依其时间延迟呈Lyapunov指数衰减的思想，对欧氏距离公式进行修改，提出分维指数加权一阶局域法。修正后的距离公式体现了各相点与中心点的相关性，其方法相对于文献［10］在预测精度上也有明显提高。如果把上述两种改进结合在一起，必然会使加权一阶局域模型取得更好的预测效果。然而，最大Lyapunov指数表示的是系统全体轨道在无穷多步演化条件下的平均发散程度。那么，最大Lyapunov指数直接使用在文献［10］衡量邻近点和中心点的相关性的向量距离公式中是否合适，另外，难以避免的最大 Lyapunov 指数计算误差［4，15］对预测效果会形成怎样的影响。我们认为，消除最大Lyapunov指数本身所固有的全局性特征和基于无穷多步演化的平均性特征，并寻求新的相点相关性评价函数来取代文献［13］中的向量距离公式很有必要。

因此，本文中我们采用文献［13］的改进方式对文献［14］作进一步改进，并且用衰减β系数替换文献［13］中向量距离公式中的最大Lyapunov指数，对指数形式的衰减因子进行修正。修正后的向量距离公式能够更好地体现相点的不同分量对预测的影响程度，通过调节衰减系数的大小，可以调节各邻近相点与中心点的相关性，进一步优化邻近点的选取，使得每个邻近点对应的权值能更好地体现邻近点对预测的贡献，为提高预测性能打下坚实的基础。

1 算法描述

加权一阶局域法，将相空间轨迹的最后一点作为中心点，把离中心点最近的若干轨迹点作为相关点，找出并根据“历史上情况最相似的情况”估计轨迹下一点的走向，最后从预测出的轨迹点的坐标中分离出所需要的预测值。加权一阶局域法一般包括4个步骤:重构相空间，选取邻近点，确定模型参数，预测计算。

1.1 重构相空间

在重构相空间时，应选取合适的时间延迟τ和嵌入维数 m。若已知时间序列 xi，i=1，2，…，N，那么相空间中的延迟向量可以表示为

（1）式中，M=N －（m －1）τ。

1.2 选取邻近点

设中心点Xl的k个最邻近点为Xli，i=1，2，…，k，并且到 Xl的距离为 di，设 dm是 di中最小值，定义点Xli的权值为

（2）式中，c为参数，一般取c=1。

预测精度的高低很大程度上取决于欧氏距离公式所确定的最邻近相点的性态，如果最邻近相点与原相点相关程度大，则预测精度较高，反之则较低。当嵌入维数m较小时，欧氏距离公式所确定的最邻近相点基本上能反映与原相点的相关程度，但当嵌入维数m逐渐增大时，这种效果会逐渐降低，因为距离最近并不一定关联度越大。文献［13］用表征混沌系统轨道发散快慢的最大Lyapunov指数和邻近点的各维所对应的时间延迟的乘积作为幂，构造一个指数形式的衰减因子对欧氏距离公式进行修改。如此直接使用最大Lyapunov指数构造衰减因子具有一定的主观性，因此，本文中我们引入衰减β系数替换原向量距离公式中的最大Lyapunov指数λ1，向量距离公式修改为

（3）式中:xl+（j－1）τ为中心点 Xl的第 j个分量;xli+（j－1）τ为第 i个邻近点 Xli的第 j个分量。

距离公式（3）中的衰减系数β，和文献［13］中修正的向量距离公式中的最大Lyapunov指数相比，不再是一个固定的参数，它的引入使得各相点与中心点的距离相关性可以调节，同时，也调节了同一邻近点的各个分量和中心点的第m维分量的关联程度，进而影响邻近点的选取，使得每个邻近点对应的权值能更好地体现邻近点对预测的贡献。

1.3 确定模型参数

加权一阶局域模型同时使用邻近点Xli及其一步演化相点Xli+1的所有延迟分量进行线性拟合，但是，未来值与中心点的第m维分量相关性最强，与其他分量的相关性较弱，拟合时使用其他分量将降低预测性能。因此，文献［14］去除其他干扰分量，只用邻近点的第m维分量进行线性拟合

（4）式中:a和 b分别为拟合所需的实系数;xli+1+（m－1）τ和 xli+（m－1）τ分别为 Xli+1和 Xli的第 m 维分量。应用加权最小二乘法有

将（5）式看作是关于未知数a和b的二元函数，两边求偏导并令偏导数为零，得到（6）式

解（6）式确定a和b的值。

1.4 预测计算

把和的值代入公式（4）得到预测模型为

（7）式中，中心点Xl的一步预测向量Xl+1的第m维分量xl+1+（m－1）τ即为时间序列下一时刻的预测值。

2 仿真结果及讨论

为了检验算法的效果，用Henon映射的分量生成混沌时间序列，如（8）式所示

（8）式中，迭代初始值为 x0=0，y0=0，生成数据13 000个点，前8 000个点舍弃，中间4 000个点构成训练集，从中选取邻近点，最后1 000个点用来预测，即校验集。然后按照（9）式对时间序列进行归一化处理

（9）式中，{y（i）}为原始混沌时间序列，{x（i）}为归一化混沌时间序列。

相空间重构有2个关键参数:嵌入维数m和时间延迟τ。用C-C方法［16］计算上述数据的时间延迟τ为2，用 Cao方法［17］确定最小嵌入维数 m的E1，E2曲线如图1所示，其定义详见文献［17］。可以看出，上述Henon时间序列的最小嵌入维数m为3。

图1 Henon映射时间序列的E1和E2曲线Fig.1 Values E1 and E2 for time series data from the Henon attractor

根据向量距离公式（3）从相空间中选取距中心点最近的m+1个最邻近点，并计算其对应的权值，进行局域线性拟合，获取系数a和b，并代入预测模型公式（7）即可预测未来值。

模型预测性能评价标准采用相对误差er，其定义为

（10）式中:x（i）为预测值;x（i）为真实值;N为预测点个数。

为了便于分析衰减系数β和嵌入维数m对预测性能的影响效果，重构相空间时取时间延迟τ为2，在不同的衰减系数β和嵌入维数m取值情况下，计算Henon映射时间序列的预测相对误差，得到了如图2所示的曲面图。

图2 相对误差随衰减系数和嵌入维数的变化关系Fig.2 Relative error changes with the attenuation coefficient and embedding dimension

在图2中，对应不同的嵌入维数m，相对误差曲线存在最低点，此时的衰减系数即最佳值βopt，结果如表1所示。可以看出，通过适当选择衰减系数β的取值，可以选取与中心点相关性大的邻近点，进一步突出预测贡献大的分量所占的比重，从而提高预测精度。同时可以看出，衰减系数β→+∞时，相对误差曲线会逐步收敛，此时公式（3）体现的距离相关性几乎只与相点的第m维分量有关，其他延迟分量对权值Pi的影响全部被忽略，即舍弃了可供利用的大量有用信息，将不可避免地使得相对误差趋向一个极限值。

表1 不同嵌入维数对应的衰减系数最佳值Tab.1 Best attenuation coefficient for different embedding dimension

衰减系数β=0时，本文方法等效为文献［14］方法。当衰减系数取 βopt时，用本文方法和文献［14］方法对上述数据进行预测，相对误差曲线如图3所示。从图3中可以看出，本文方法的预测效果更好。随着嵌入维数增加，文献［14］方法的预测相对误差迅速上升，而本文方法的预测误差相对保持稳定，上升幅度较小。这是由于嵌入维数增大时，相空间延迟向量利用的维分量数增多，预测利用的历史信息增多，引入了大量的延迟时间过长的分量，贡献度小的分量抑制了贡献度大的分量的参考作用，导致预测相对误差随嵌入维数增加而迅速升高［13］。而本文引入的衰减系数β，加大了时间靠前的分量的参考作用，所以嵌入维数增加时，预测精度保持相对稳定，上升幅度不大。

图3 预测误差对比Fig.3 Prediction error comparison between the improved method and the original one

3 结论

对混沌时间序列重构相空间后，预测值为预测向量的第m维分量，它与邻近点的第m维分量的相关性最大，与其他延迟分量的相关性随各分量对应的时间延迟而衰减。本文中我们在文献［13］和文献［14］的基础上，引入衰减系数β，修改了文献［13］的向量距离公式，调节各邻近相点与中心点的距离相关性，也调节了同一邻近点的各个分量和中心点的第m维分量的关联程度。另外，本文的预测模型不需要计算最大Lyapunov指数，不仅节省了大量的计算时间，而且大大地减少了计算时所需的存储空间。数值研究表明，该模型可以更精确地预测混沌时间序列。

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