Lipschitz连续强单调逆变分不等式的迭代算法

何松年，刘宏智

（中国民航大学理学院，天津　300300）



Lipschitz连续强单调逆变分不等式的迭代算法

何松年，刘宏智

（中国民航大学理学院，天津300300）

摘要：假设H是一个实的Hilbert空间，C是H的一个非空闭凸子集，f：H→H是一Lipschitz连续强单调算子。考虑逆变分不等式（简记为IVI（C，f））：即寻求ξ∈H满足f（ξ）∈C，〈ξ，v - f（ξ）〉≥0，∀v∈C。证明了IVI（C，f）解的一个存在唯一性定理，给出了解的两个迭代算法，改进了以往的相关结果。

关键词：逆变分不等式；强单调；不动点；迭代算法

假设H是一个实Hilbert空间，〈·，·〉和‖·‖分别表示H的内积和范数，又设C是H的一个非空闭凸子集，F：C→H是一个映像。变分不等式VI（C，F）是寻求u∈C使得〈F（u），v-u〉≥0，∀v∈C。变分不等式解的迭代算法已获得充分的研究，并且广泛应用于工程计算、经济均衡和交通网络等诸多领域。

设f：H→H是一映像，C⊂H是一非空闭凸子集，逆变分不等式IVI（C，f）的提法是：寻求ξ∈H，使得f（ξ）∈C且〈ξ，v - f（ξ）〉≥0，∀v∈C。若f：H→H是一一对应，则其逆映像f-1：H→H存在，记f（ξ）= u，则ξ= f-1（u），显然ξ是IVI（C，f）的解当且仅当u是变分不等式VI（C，f-1）的解，逆变分不等式由此得名。

逆变分不等式广泛地应用于交通网络中的控制理论、交通网络、管理科学问题中。近年来何炳生等［1-2］给出了一些关于系统控制问题中单调的逆变分不等式的迭代算法和经济生活问题中的逆变分不等式的算法。本文是对Luo［3-4］相关结果的一种改进。

本文研究包括如下3部分：首先列出本文用到的记号和引理；其次证明逆变分不等式解的一个存在唯一性定理；最后给出逆变分不等式解的迭代算法。

1　预备知识

本文恒设H是一个实Hilbert空间，〈·，·〉和‖·‖分别表示H的内积和范数，用到如下记号：

2）I表示恒等算子；

3）ωω（xn）表示｛xn｝的弱ω-极限点集，即

定义设算子f：H→H，则：

1）称f是L-Lipschitz连续映像，如果存在常数L＞0，使得

特别地，当L=1时，称f为非扩张映像，当0≤L＜1时，称f为压缩映像。

2）称f是单调的，如果总成立

3）称f是η-强单调的，如果存在常数η＞0，使得

对∀z∈H，z关于非空闭凸子集C的度量投影，记作PCz = arg min｛‖z - x‖：x∈C｝。众所周知PC是非扩张的，且对u∈C，u∈PCz的充要条件是〈z - u，v -u〉≤0，∀v∈C，此不等式称为投影的特征不等式。

设λ＞0，可知u是变分不等式问题V（IC，F）的解，当且仅当u = P（Cu -λF（u））成立。类似地，设λ＞0，由投影特征不等式可以知道逆变分不等式问题IV（IC，f）等价于方程（fξ）= P（C（fξ）-λξ）。设α＞0，将方程f（ξ）= PC（f（ξ）-λξ）两边同乘以α得到α（fξ）= αP（C（fξ）-λξ），于是自然得到

这表明解逆变分不等式问题IVI（C，f）等价于寻求映像T：= I -α f +αP（Cf -λI）的不动点，这是讨论IV（IC，f）问题的出发点。

下面以引理的形式列出将要用到的一些结论。

引理1对实Hilbert空间，成立下列等式：

引理2若F：C→H是L-Lipschitz连续和η-强单调，则当0＜λ＜时，P（CI -λF）是一个压缩映像，定义迭代格式un+1= P（CI -λF）un，则｛un｝强收敛于变分不等式V（IC，F）的唯一解。

引理3设｛an｝是非负实数列，满足

2　存在唯一性定理

对于变分不等式，人们早就得到了在Lipschitz连续强单调条件下变分不等式解的存在唯一性定理［7］，而逆变分不等式还没有见到类似的结论，目前在文献［4］中Luo等证明了如下结果：

如果f：H→H是L-Lipschitz连续和η-强单调的，若存在某常数β＞0，使得：

则T：= I - f + P（Cf -βI）是一个压缩映像，其压缩系数为，因此IVI（C， f）存在唯一解。Luo虽然给出了一个逆变分不等式解的存在唯一性定理，但上述1）、2）、3）这3个条件显然过于苛刻，相应给出的逆变分不等式的迭代算法也不能令人满意。

本文改进Luo等人的上述结果，提出一个新的存在唯一性定理。

定理1若f：H→H是L-Lipschitz连续和η-强单调的，若L＜η，则对任意T：= I -α f +αP（Cf -ηI）是一压缩映像，进而IV（IC，f）存在唯一解。

证明对∀u，v∈H，由PC的非扩张性可得

结合上面3个式子，可得到

，所以由式（6）可得

即

从而T为压缩映像，因此T有唯一不动点，即证明了IV（IC，f）有唯一解。

定理2若f：H→H是L-Lipschitz连续和η-强

证明由式（2）～式（4）这3个式子，可得到

3　迭代算法

上面证明了逆变分不等式存在唯一性定理，在这一部分将分别给出T是压缩映像和非扩张映像时相应的迭代算法。

设H是一个实Hilbert空间，C是H的一个非空闭凸子集，f：H→H是L-Lipschitz连续和η-强单调的映像，且满足L＜η。首先建立一个Picard迭代算法。

其中T：= I -α f +αP（Cf -ηI），产生的序列｛xn｝强收敛于IV（IC，f）的唯一解。

从定理1可知T是压缩映像，由Banach压缩映像原理可知｛xn｝强收敛到T的唯一不动点，即IVI（C，f）的唯一解。

而对于非压缩映像，Picard迭代未必收敛，更未必收敛于其不动点。下面进一步讨论当T是一个非扩张映像时的迭代算法。

时，迭代算法为

其中T：= I -α f +αP（Cf -ηI），μ，x0∈C任意取定，｛tn｝⊂（0，1）；又设：

则算法（10）产生的序列｛xn｝强收敛于IVI（C，f）的唯一解。

应用引理3，Halpern［8］在｛tn｝满足上述条件下，证明了｛xn｝强收敛到T的不动点，而解逆变分不等式问题IVI（C，f）又等价于寻求非扩张映像T：= I -α f + αP（Cf -ηI）的不动点，所以｛xn｝是强收敛到IVI（C，f）的唯一解。

参考文献:

［1］HE B S，LIU H X. Inverse Variational Inequalities in the Economic Field：Applications and Algorithms［EB/OL］.（2006-09-18）［2015-05-10］. http：//www.paper.edu.cn/html/release paper/2006/09/260/.

［2］HE B S，LIU H，LI X，et al. PPA-Base Methods for Monotone Inverse Variational Inequalities［EB/OL］.（2006-06-21）［2015-05-10］. http：//www.paper.edu.cn/html/release paper/2006/06/219/.

［3］LUO X P. Tikhonov regularization methods for inverse variational inequalities［J］. Optim Lett，2014，8：877-887.

［4］LUO X P，YANG J. Regularization and iterative methods for monotone inverse variational inequalities［J］. Optim Lett，2014，8：1261-1272.

［5］MARINO G，XU H K. Weak and strong convergence theorems for strict pseudocontractions in Hilbert spaces［J］. J Math Anal Appl，2007，329：336-346.

［6］XU H K. Iterative algorithm for nonlinear operators［J］. J Lond Math Soc，2002，66（1）: 240-256.

［7］HARTMAN P，STAMPACCHIA G. On some non-linear elliptic differential-functional equations［J］. J Acta Mathematica，1966，115:153-188.

［8］HALPERN B. Fixed points of nonexpanding maps［J］. Bull Amer Math Soc，1967，73: 957-961.

（责任编辑：杨媛媛）

Iterative algorithm for Lipschitz continuous and strongly monotone inverse variational inequalities

HE Songnian，LIU Hongzhi

（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

Abstract:Let C be a nonempty closed convex subset of a real Hilbert space H，f：H→H be a Lipschitz continuous and strongly monotone mapping. Then，inverse variational inequality is considered（in short，IVI（C，f））: find ξ∈H such that f（ξ）∈C，〈ξ，v - f（ξ）〉≥0，∀v∈C. A new existence and uniqueness theorem for inverse variational inequalities is proved and two iterative algorithms are introduced to improve the previous relevant results.

Key words:inverse variational inequality；strongly monotone；fixed point；iterative algorithm

中图分类号：O177.91；O241.7

文献标志码：A

文章编号：1674－5590（2016）02－0062－03

收稿日期：2015-05-14；修回日期：2015-06-15

基金项目：天津市重点实验室开放课题（1040030603）；中国民航大学研究生科技创新基金（Y15-25）

作者简介：何松年（1963—），男，山西太原人，教授，博士，研究方向为非线性分析理论、算法及其应用.