激光多普勒信号相位解调算法误差分析

张雄星，张梦娇，杨宇祥，王 伟，王可宁

(1.西安工业大学 光电工程学院，西安 710021;2.西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安 710048)

激光多普勒信号相位解调算法误差分析

张雄星1，张梦娇1，杨宇祥2，王 伟1，王可宁1

(1.西安工业大学 光电工程学院，西安 710021;2.西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安 710048)

为了分析激光多普勒测振仪位移测量精度误差的主要影响因素，采用了两次希尔伯特变换求解附带直流偏置的激光多普勒信号的相位，推导了相位求解的误差传递函数.通过信号发生器产生调频波，叠加不同强度的高斯白噪声模拟多普勒信号，针对振动频率1 kHz，振幅10λ，信噪比为0 dB的多普勒信号，得出相位解调误差的标准差等于信号信噪比的倒数.研究结果表明：当多普勒信号的信噪比高于10 dB时，采用相位法计算目标位移精度较高；当多普勒信号的信噪比低于-15.97 dB时，采用相位法和条纹法计算目标位移精度相当.

相位解调；多普勒信号；振动测量；Hilbert变换；误差分析

激光多普勒技术可同时测量目标的速度和位移，具有较高的时间分辨率和空间分辨率[1-2].激光多普勒测量仪器分辨能力的上限受限于光电探测器的带宽，下限在硬件上受限于光电探测器和信号调理电路的噪声，软件上受限于所选用的多普勒信号解调算法.商用多普勒测振仪光电探测器的带宽多在百MHz量级，最大测量速度约为10 ms-1，VISAR和DISAR等专用型多普勒测量仪器，选用的探测器的带宽在GHz量级，速度测量上限可达1 000 ms-1，可用于冲击波物理与爆轰物理研究中位移或速度剖面的连续观测.探测器和信号调理电路的噪声主要有散粒噪声和热噪声，其中速度分辨率的下限主要受热噪声的影响且与振动的频率有关，随振动频率的增高，速度分辨率会降低，而位移分辨率的下限受散粒噪声和热噪声的双重影响，与振动的频率无关，但与选用的多普勒信号的位移测量方法有关[3].

对于激光多普勒信号，文献[4]研究激光多普勒信号测量位移的方法有两种，条纹计数法和相位分析法.文献[5]说明了多普勒信号每经过一个完整的周期干涉条纹，相位角增加2π，对应位移增量为λ/2 nm，对干涉条纹计数可得目标位移值，条纹计数法简单可靠，但分辨率受激光波长的制约；相位分析法根据多普勒信号的相位增量计算目标位移，分辨率可突破激光波长的约束.在实际振动位移解算中，当被测振动的位移远大于λ时，采用条纹计数法，当位移在0.1λ～10λnm时，采用相位分析法.文献[6-8]总结了常用的相位分析算法为希尔伯特(Hilbert)变换，其可对多普勒信号做90°相移，得到多普勒信号的正交信号，采用反正切函数计算信号的相位.文献[9-10]提出了当探测器的带宽满足被测振动频率和速度的要求时，Hilbert变换相位解算精度与探测器信号信噪比(Signal to Nosie Ratio,SNR)，模拟信号量化误差及被测目标粗糙度等非关键性因素有关.分析计算不同信噪比条件下Hilbert变换位移解算误差对小振幅多普勒测振系统的设计具有重要的意义.

基于此，本文分析了随机噪声对Hilbert变换相位分析及位移计算精度的影响，经过理论推导，得出了激光多普勒干涉仪位移测量精度的数学模型，通过算法仿真和半实物仿真验证了位移测量精度模型的正确性.

1 希尔伯特变换的位移测量原理

实信号x(t)的希尔伯特变换[6]定义为x(t)和函数1/πt的卷积，表达式为

(1)

式中：x(t)为时域信号；t为时间变量；τ为卷积偏移量.

在频率域内，希尔伯特变换表达式为

(2)

式中：j为虚数符号;f为信号的频率.Hilbert变换和原信号相比移相了90°，同时频谱的幅度谱不变.希尔伯特变换对信号进行了正交移相，得到了原信号的正交信号.

激光多普勒测振仪是典型的光外差检测系统，光电探测器输出的多普勒信号表达式为

(3)

式中：R为探测器灵敏度；Pc为参考光功率；Ps为信号光功率；fd为信号光的多普勒频移；f0为参考光的频率；e0为高斯白噪声.

多普勒信号的噪声来源主要有光源的强度噪声和相位噪声,探测器的散粒噪声及信号拾取电路的热噪声等.特别是对低速目标进行检测时，多普勒信号噪声水平较高，信噪比较低.式(3)表明多谱勒信号由直流偏置、交流信号和噪声组成，针对多普勒信号的特点，需要进行两次Hilbert变换才能计算信号相位.直流分量的Hilbert变换为0，根据Hilbert变换的叠加定理，多普勒信号的一次Hilbert变换表达式为

(4)

式中：φ0为初相应；e1为e0的 Hilbert变换，e1=e0×1/πt，高斯白噪声的Hilbert变换也是高斯白噪声，并且具有相同的标准差.

对多普勒信号进行两次Hilbert变换，表达式为

(5)

其中e2为经过两次希尔伯特变换后的高斯白噪声的标准差，和原始多普勒信号噪声的标准差相等.

多普勒信号的一次和二次Hilbert变换都不含偏置，是一对正交信号，因此可以计算出信号的相位为

(6)

2 多普勒信号相位的计算误差及位移测量误差分析

多普勒信号相位计算位移的公式为

d=λΔφ/4π

(7)

式中：λ为激光波长；Δφ为相位的增量，即不同时间得到多普勒信号的相位分别为φ1和φ2，Δφ为φ1与φ2的差.

相位分析法的位移测量误差主要来源于多普勒信号的相位计算误差，根据式(4)～(6)及三角函数误差传递公式，得到多普勒信号相位计算误差为

(8)

相位计算误差为随机变量，其标准差为

(9)

其中σ0为多普勒信号中噪声的标准差.式(9)表明，采用Hilbert变换计算多普勒信号的相位时，相位计算误差的标准差等于信号信噪比的倒数.

由式(7)和式(9)，得到位移测量误差的标准差的表达式为

(10)

3 算法仿真

x(t)=2sin(2π×12 903t)+4+e0

(11)

其中e0=N(0,0.632)，是均值为0，标准差为0.632的正态分布.

d=0.01t

(12)

对比仿真计算的位移测量曲线和真实的位移曲线，得到位移测量误差.对位移测量误差进行统计，得到位移测量误差的标准差为39.50nm，如图3所示.

图1 原始信号及Hilbert变换波形

图2 位移波形

图3 Hilbert变换位移误差及误差标准差

激光波长λ/nm信噪比/dBδd/nmδd'/nm155020.0012.3412.54155010.0039.0339.5015500.00123.40122.561550-15.97775.50780.20

4 实验验证

采用任意信号发生器产生加噪的调频波模拟简谐振动目标的多普勒信号，振动的频率为1 kHz，振幅为5倍激光波长，等于7.75 μm.则振动的位移为

d=7.75sin(2 000πt)×10-6

(13)

振动的速度为

v=4.87cos(2 000πt)×10-2

(14)

多普勒频移为

fd=2v/λ=0.63cos(2 000πt)×104

(15)

多普勒信号(幅值为2 V，偏置为4 V)为

sd=2sin(2πfdt)+4+e0=2sin(3.95cos(2 000πt)t×105)+4+e0

(16)

信号发生器模拟的多普勒信号接入多普勒测振仪的信号处理电路，数据处理电路嵌入了Hilbert相位求解算法，以模拟电压的方式输出解算的位移量.多普勒信号和解算的位移采用多通道数字示波器监测并记录.

图4为示波器监测的多普勒信号以及解算的位移曲线，多普勒信号的信噪比为0 dB.将解算的位移曲线和式(13)给出的理论位移曲线进行对比，从而得到位移计算的误差曲线以及误差的标准差，如图5所示.当信噪比为0 dB时，多普勒测振仪计算的位移误差为123.03 nm，和式(10)的结论123.40 nm相符合，相对误差为0.3%.

图4 多普勒信号与位移输出波形

图5 位移误差及误差标准差

5 结 论

1) 高精度位移测量需要对多普勒信号进行相位分析，所采用的算法主要为Hilbert变换.Hilbert变换的相位计算误差的标准差等于信号信噪比的倒数，位移测量误差的标准差δd=λ/4πSNR.

2) 当多普勒信号的信噪比较高，高于10 dB时，适宜采用相位法计算目标位移；当多普勒好的的信噪比较低，低于-15.97 dB时，宜采用相位法计算目标位移.

3) 当激光波长固定不变，并具有较高的频率稳定性时，要提高位移测量精度，需改善多普勒信号的信噪比.

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(责任编辑、校对 潘秋岑)

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Error Analysis of Phase Demodulation Algorithm of Laser Doppler Signal

ZHANGXiongxing1,ZHANGMengjiao1,YANGYuxiang2,WANGWei1,WANGKening1

(1.School of Optoelectronics Engineering,Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China; 2.School of Mechanical and Precision Instrument Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China)

In order to analyze the main influencing factors of displacement measurement accuracy error of laser Doppler vibrometer, a phase demodulation algorithm of two Hilbert transform is used to get the phase of a laser Doppler signal with a DC bias,and to derive the error transfer function of phase solution.Doppler signal is simulated by FM wave generated by the signal generator,superimposed Gaussian white noise of different intensity.The correctness of the calculation error of phase demodulation for is verified for the Doppler signal with vibration frequency of 1 kHz,amplitude of 10λand signal to noise ratio of 0dB.Research results show:While the Doppler signal with SNR higher than 10 dB,the precision is higher by phase method to calculate target displacement;While the Doppler signal SNR is lower than -15.97 dB,the similar accuracy of target displacement is calculated by phase method and fringe method.

phase demodulation;doppler signal;vibration measurement;Hilbert transform;error analysis

10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.12.002

2016-05-13

陕西省教育厅2016年度专项科学研究计划项目(16JK1370)

张雄星(1979-)，男，西安工业大学讲师，主要研究方向为光电测试、仪器仪表测控技术. E-mail:zhangxiongxing@xatu.edu.cn.

O436

A

1673-9965(2016)12-0954-05