改进的多目标混合整数优化算法及其在蒸汽动力系统优化中的应用

魏 畅, 杜文莉

(华东理工大学化工过程先进控制和优化技术教育部重点实验室, 上海 200237)

改进的多目标混合整数优化算法及其在蒸汽动力系统优化中的应用

魏 畅, 杜文莉

(华东理工大学化工过程先进控制和优化技术教育部重点实验室, 上海 200237)

为了提高多目标粒子群算法(MOPSO)的收敛性和多样性,以及增加多目标粒子群算法的适用范围,提出了一种ε约束处理混合三点随机Gbest选择多目标粒子群(ε-TMOPSO)算法。采用一种全新的三点随机Gbest选择机制,用粒子与档案集中非支配解的欧氏距离最近、最远以及处于中间位置的3个粒子构建一个备选池,然后随机选择一个粒子作为Gbest,提高算法的收敛性和多样性;采用改进的带松弛阶段ε约束处理机制处理约束条件,在前期允许加入部分优秀的不可行解,提高算法跳出局部最优的能力;融入Sigmoid函数离散变量编码处理机制,使算法能够处理混合整数问题,增加算法的适用范围。通过测试函数仿真,与EM-MOPSO、NSGA2以及SNSGA算法进行对比,结果表明本文算法在收敛性和分布性上有一定的优势。将该算法应用于乙烯装置蒸汽动力系统优化中取得了较好的效果,进一步证明了该算法的有效性。

多目标粒子群; 三点随机Gbest选择;ε约束处理; 离散变量编码; 蒸汽动力系统

大多数的工业优化问题,实际上都是多目标优化问题,如蒸汽动力系统的优化,在文献[1]中就考虑了经济型指标和环境指标。这些优化模型一般存在表示设备开停的离散变量,并且工业过程必然存在各种约束条件,这类问题实际上就是带约束的多目标混整问题(CMOMI)。

近年来,国内外学者对多目标问题进行了大量的研究,提出了种类繁多的多目标优化算法。一般分为如下两类:

(1)基于单目标的多目标优化方法。一般将多目标优化问题按照一定的方式转换为单目标优化问题,然后对单目标优化问题进行求解。但是这种方法有几个明显缺点:要求用户提供精确的决策信息、只能得到一个局部最优解、仅能运用于较小的问题集、推广性较差等。

(2)基于启发式的多目标优化方法,即通过模拟自然界中的各种现象发展起来的优化方法。它是全局优化算法,不会受到具体问题的束缚,推广性很强,鲁棒性很高,这些性质使其更适合解决一些实际问题[2-7]。

多目标粒子群算法(MOPSO)[8-11]是一种基于启发式的多目标优化方法,已得到广泛关注,成为优化算法领域的研究热点。Coello[10]采用基于栅格的方法对外部档案集进行维护,把目标空间划分为多个超立方体,每个个体的飞行经验保存在一个超立方体,通过判断每个超立方体包含的非支配解的个数来维护外部档案集。Sun等[12]提出了一种多群体多目标粒子群算法,一部分群体朝着更优的Pareto前沿搜索,一部分群体朝着较远的Pareto前沿搜索,提高了算法的全局搜索能力。虽然前人做了很多研究和改进,但总的来说,现有的多目标粒子群算法在全局最优解的选取以及约束条件的处理上、在全局搜索以及局部搜索之间的平衡性能改进上尚缺乏研究,致使Pareto前沿解的收敛性和分布性较差,也不能适用于带约束的多目标混整问题(CMOMI)。

针对以上问题,本文提出了一种ε约束处理混合三点随机Gbest选择多目标粒子群(ε-TMOPSO)算法。考虑到算法对于收敛性和Pareto前沿多样性的要求,提出了三点随机Gbest选择机制。为了使本文算法适用于CMOMI问题,融合了文献[13]中改进的带松弛阶段ε约束处理机制以及文献[14]中的Sigmoid函数离散变量编码处理机制。通过求解测试函数ZDT1、ZDT2、ZDT3,以及对性能指标进行比较,可以发现,本文提出的ε-TMOPSO算法在收敛性和分布性上比EM-MOPSO[11]算法和经典NSGA2[3]算法优秀。通过求解一个带约束的多目标混整非线性规划测试函数,表明了该算法适用于求解带约束的多目标混整问题(CMOMI)。最后将该算法应用于某石化厂乙烯装置蒸汽动力系统多目标优化中,结果显示优化效果明显,达到了节能的目的。

1 多目标粒子群算法

MOPSO算法[9-10]采用多点并行搜索机制,通过个体最优位置Pbest以及群体最优位置Gbest,领导粒子向Pareto前沿飞行,对粒子进行迭代,实现动态搜索最优解。该算法原理简单、使用方便、需要设置参数较少、收敛速度快,但是容易陷入局部最优,后期收敛速度较慢,并且不能适用于带约束的多目标混整问题(CMOMI)。基本MOPSO算法步骤如下:

(1) 初始化粒子位置X和粒子飞行速度V,计算各个粒子的适应度函数,将其非支配解加入到外部档案集Np中;

(2) 选择粒子的初始Gbest和Pbest;

(3) 保证粒子在不越界的情况下,根据速度和位置对粒子的速度和位置进行更新,然后计算各个粒子的适应度函数,更新各个粒子的Pbest;

(4) 根据新产生的非支配解维护外部档案集Np,同时为群体更新新的Gbest;

(5) 判断终止条件,不满足则跳至步骤(3);

(6) 输出外部档案集。

2 带有混合整数的多目标粒子群改进算法

2.1 概述

针对基本多目标粒子群算法的缺陷,本文提出了ε-TMOPSO算法。在选择Gbest时,为了平衡算法的收敛性以及Pareto前沿的分布性,采用三点随机Gbest选择策略为每一个粒子选择一个合适的Gbest;为了在算法早期利用一些优秀的不可行的非支配解,加快算法收敛速度,避免陷入局部最优,在约束的处理上,采用改进的带松弛阶段ε约束处理机制;在离散变量的处理上,直接采用了比较经典的Sigmoid函数离散变量编码处理机制,增加算法的适用范围。另外,在更新粒子速度时,惯性权重ω以及加速因子c1、c2根据进化代数自适应变化。

2.2 三点随机Gbest选择策略

现有的多目标粒子群算法中Gbest的选择方法很多,如在外部档案集中随机选择[15-16],这种方法效率不高,每一个非劣解被选上的概率相等,这样会导致粒子集中的区域被选概率较大,不利于粒子的Pareto前沿分布,群体多样性下降;采用小生境策略选择Gbest[17]的方法参数选取困难;采用Sigma策略选择Gbest效果好,但是要求适应度函数是正函数,并且解的收敛性过分依赖于初始种群的多样性。针对这些策略存在的问题,本文提出了一种三点随机Gbest更新策略,为每一个粒子在外部档案集中选择一个Gbest。首先计算每个粒子与外部档案集中所有非劣解的欧氏距离,选择距离最近、最远以及处于中间的3个非劣解作为候选Gbest,然后在这3个候选非劣解中随机选择一个作为该粒子的Gbest。

当为所有粒子选择一个相同的Gbest时,粒子都会朝着一个相同的非劣解方向飞行,容易陷入局部最优,也不利于最终求得Pareto前沿的解集分布。而本文提出的三点随机Gbest更新策略为了在收敛性与多样性之间达到一种平衡,以每个粒子与外部档案集中非劣解的距离为初步评价指标,选择距离最远、最近以及处于中间的3个粒子作为备选池,然后从中随机选择一个粒子作为该粒子的最新Gbest。当选择较近的非劣解作为Gbest时,必然会提高算法的收敛性;当选择较远的非劣解作为Gbest时,又会提高种群的多样性。因此,该策略综合考虑了算法的收敛性和多样性,在提高收敛性的同时,也提高了最后Pareto前沿分布性。

2.3 改进的带松弛阶段ε约束处理机制

为了解决模型普遍带约束的问题,本文采用改进的带松弛阶段ε约束处理机制。对于带约束的问题,不能简单地以解的可行性为判断粒子质量高低的标准,否则容易使解陷入局部收敛。应该综合权衡解的可行性与否以及违反约束程度,要充分利用优秀的不可行解,引导粒子更快地向Pareto边界收敛,加快收敛速度;而对于一些违反约束程度相对较小的优秀不可行解,可以充分利用其携带的信息,并加以转化为可行解。

本文方法与文献[3]提出的约束处理方法相似,只是在进化前期加入一个由Tc控制的松弛阶段。在松弛阶段,通过调整控制参数ε的大小,将种群中的部分不可行解当成可行解来处理。随着进化代数的增加,ε逐渐减小,被当成可行解的不可行解越来越少,直至数量为0,最后全部都是可行解。

第j个约束条件表达式为

(1)

个体Xi违反第j个约束条件的程度如式(2)所示,该个体的总约束违反度如式(3)所示。

(2)

(3)

在计算个体总约束违反度之后,基于带松弛阶段ε约束处理机制的方法将部分不可行解当成可行解处理,由参数ε动态调节整个过程。改进的ε动态调节过程由式(4)～ 式(5)表示。

(4)

(5)

其中:ε初始值取初始种群不可行解违反度总和的平均值;m为初始种群中不可行解个数;Tc为控制该松弛阶段的时间长度,Tc=0.2×Maxgen,Maxgen是最大迭代次数。此时,以ε判断粒子是否可行,违反度不大于ε的不可行粒子称为伪可行解,此时的伪可行解当成可行解一样处理。随着ε逐渐减小为0,伪可行解逐渐被淘汰,在最终的档案集中也不会存在不可行解,都是可行解。

2.4 离散变量编码

目前很多实际问题都带有离散变量,但是传统的多目标粒子群算法不能解决这一问题,因此本文提出的算法融合了文献[13]提出的Sigmoid函数离散变量编码处理机制,扩大了算法的适用范围。

采用式(6)所示的Sigmoid函数,把飞行速度Vij映射到[0,1]区间。

(6)

比较s(Vij)和随机数r,通过式(7)对位置Xij进行取值。此时Vij表示的不是飞行速度,而是位置Xij取1的概率。

(7)

2.5 粒子速度、位置更新

粒子速度更新公式如式(8)所示。

(8)

其中:gen表示进化代数;Pbest表示粒子历史最优位置;Gbest表示种群最优位置。惯性权重ω以及加速因子c1、c2根据进化代数自适应变化,这样可以保证算法在早期增大搜索空间,避免陷入局部搜索,在后期加快收敛速度。粒子位置更新如式(9)所示。

(9)

2.6 变异

为了维持粒子的多样性,避免粒子早熟收敛,提高算法跳出局部最优的能力,对粒子进行变异处理,如式(10)。

ife(-α·gen/Maxgen)>rand

(10)

其中:α=2;Xijmax表示粒子第j维的最大值;Xijmin表示粒子第j维的最小值。

2.7ε-TMOPSO算法步骤

(1) 确定算法基本参数:种群大小nPop,档案集Np大小nRep,最大迭代次数Maxgen。

(2) 初始化粒子位置X和粒子飞行速度V,对离散变量进行离散化;初始化ε,根据ε选择粒子,计算各个粒子的适应度函数,将其非劣解加入到外部档案集Np中。

(3) 确定粒子的初始Pbest以及根据三点随机Gbest选择策略为每一个粒子选择对应的Gbest。

(4) 保证在粒子不越界的情况下,按照2.4节更新粒子的速度和位置,按照2.5节对粒子位置进行变异,按照2.3节对离散变量进行离散化。

(5) 采用式(5)更新ε,计算各个粒子的适应度函数,根据非支配关系以及ε调整各个粒子的Pbest。

(6) 根据ε以及每个粒子的约束违反度,把伪可行解以及可行解加入到档案集,然后删除掉档案集中的支配解,最后采用基于拥挤距离的策略对外部档案集进行维护,当档案集中解的数量超过其大小时,删除拥挤距离小的解;同时,在外部档案集中根据三点随机Gbest选择策略为每一个粒子选择对应的Gbest。

(7) 判断终止条件,不满足则跳至步骤(4)。

(8) 输出外部档案集。

3 改进算法在多目标优化问题的性能比较

3.1 参数设置

将ε-TMOPSO算法通过几个测试函数与EM-MOPSO[11]以及NSGA2[3]算法进行求解比较。ε-TMOPSO算法种群大小设为100,档案集大小为100,迭代次数为100;EM-MOPSO算法种群大小设为100,档案集大小为100,迭代次数为100,其他参数与文献保持一致;NSGA2算法种群大小设为100,迭代次数为100,其他参数与文献保持一致。为了避免一次实验的偶然性,对每个测试函数实验20次。

3.2 测试函数

选取多目标经典测试函数集ZDT系列中的ZDT1、ZDT2、ZDT3作为测试函数,其中ZDT1的Pareto前沿是凸的,ZDT2的Pareto前沿是凹的,ZDT3的Pareto前沿是非连续的,具有广泛代表性。

3.3 性能评价标准

针对多目标优化算法,需要综合考虑解集的收敛性和分布性,因此本文选取收敛性指标世代距离(Generational Distance,GD)以及分布性指标SP(Spacing)作为评判标准[18]。GD是算法收敛性指标,值越小表明所求的解集越靠近真实Pareto前沿,若GD=0,则表明所求的解集全在Pareto最优解集里面。SP是算法的分布性指标,值越小说明算法拥有更好的分布性。

3.4 实验结果

表1示出了收敛性指标GD的对比实验数据,表2示出了分布性指标SP的对比实验数据。从表1可以看出,ε-TMOPSO的GD均值、标准差均比NSGA2和EM-MOPSO小,说明ε-TMOPSO收敛性更好。从表2可以看出,ε-TMOPSO的SP仅在ZDT1上比NSGA2稍差,其他参数均比NSGA2和EM-MOPSO小,即ε-TMOPSO解集分布性最好。综上可见,ε-TMOPSO算法优化性能最好。

表1 收敛性GD测试结果对比Table 1 Test results of GD

表2 分布性SP测试结果对比Table 2 Test results of SP

4 改进算法在多目标混整非线性规划问题的性能比较

s.t.g1(x)=3x1-x2+x3+2y1≤0

y1+7y2≤0

g3(x)=-x1-2x2+3x3+7y3≤0

g4(x)=-x1-10+12y1≤0

g5(x)=x1-5-2y1≤0

g6(x)=-x2-20+y2≤0

g7(x)=x2-40-y2≤0

g8(x)=-x3-17+y3≤0

g5(x)=x3-25-y3≤0

算法种群大小设为100,档案集规模设为100,迭代次数设为200,仿真结果如图1所示。与文献[19]中SNSGA算法得到的350代Pareto前沿(图2)相比,本文算法得到的Pareto前沿明显更平滑,分布性更好,并且只进化了200代,收敛速度更快。

这是因为,首先三点随机Gbest选择策略综合考虑了算法的收敛性和Pareto前沿的分布性;其次,带松弛阶段ε约束处理机制在算法早期允许加入一些不可行解,可以加快收敛速度,避免陷入局部最优;最后,Sigmoid函数离散变量编码处理机制,在处理离散变量时,非常高效、简单。另外,在更新粒子速度时,惯性权重ω以及加速因子c1、c2根据进化代数自适应变化,这样的处理可以在算法后期加快收敛速度。因此,ε-TMOPSO算法对求解带约束的多目标混整非线性问题是有效的。

图1 ε-TMOPSO算法得到的Pareto前沿Fig.1 Pareto front got by ε-TMOPSO

图2 SNSGA得到的350代Pareto前沿Fig.2 Pareto front of generation 350 got by SNSGA

5 实例研究

5.1 蒸汽动力系统多目标优化模型

蒸汽动力系统优化问题已经被大量研究,目标模型的建立主要是对多种能源介质进行折标求和[20-21],但是对于一些内部核算难以定价的企业,单目标模型结果存在人为经验设定情况。以某石化厂乙烯装置蒸汽动力系统进行实例研究,蒸汽能耗和电能耗为优化的两个目标,建立蒸汽动力系统多目标优化模型如下:

5.2 优化求解与分析

该石化厂蒸汽管网蒸汽、电能耗多目标优化决策变量见表3。

表3 优化决策变量列表Table 3 Optimization decision variables

3个等级管网蒸汽需求为RSS=190.71 t/h,RMS=34.63 t/h,RLS=52.05 t/h,采用本文提出的ε-TMOPSO算法以及文献[19]的SNSGA算法对模型求解,设置种群规模为100,档案集大小为100,迭代次数为500,得出Pareto前沿如图3所示。从图3可以看出,ε-TMOPSO算法求出的解与SNSGA算法求出的解相比,在电能耗相等的情况下,前者拥有较小的蒸汽能耗,即ε-TMOPSO算法求出的解更好。ε-TMOPSO算法求出的解集具体数据见表4。

从表4可以看出,得到的12组解优化趋势都是相同的,即通过增加压缩机透平的抽气量、减少减温减压器流量、并通过调节透平泵电泵开关量保证系统正常运行。其主要原因是增加透平MS抽汽量,提高了透平做功效率,减少SS消耗;减温减压器直接对蒸汽进行减温减压操作,而没有让蒸汽做功,造成了能量的浪费。

图3 蒸汽管网多目标优化结果Fig.3 Multi-objective optimization result of the steam power system

按照表4给出的解集,在满足现场情况的条件下,选取使两个目标总和最小的一组解作为优化方案进行优化操作。从表4可以看出,蒸汽能耗降低了1.65千克标油/吨,电能耗降低了6.01千克标油/吨,总体下降了7.66千克标油/吨。此时蒸汽动力系统除蒸汽、电外的基础能耗为484.41千克标油/吨,因此优化效率为1.32%。2015年7月13日14点30分,该石化厂按照这组结果进行调优,调优前后48 h运行效果如图4所示,其中虚线左边是优化前蒸汽系统能耗,右边是优化后蒸汽系统能耗。可以看出现场运行结果与仿真结果保持一致,即优化后能耗明显下降。

表4 优化结果Table 4 Optimization result

图4 工业运行效果图Fig.4 Industrial operation effect

6 结束语

本文提出了一种改进的MOPSO优化算法,经过对多目标经典测试函数集ZDT系列中的ZDT1、ZDT2、ZDT3 测试函数进行仿真,与EM-MOPSO算法以及NSGA2算法比较,验证了该算法具有良好的收敛性和分布性,总体性能得到改善;通过对一个带约束的多目标混整非线性测试函数的仿真,与SNSGA算法比较,验证了该算法在求解此类问题时同样具有良好的收敛性和分布性。最后将改进的算法应用于蒸汽动力系统优化中,效果较好。

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Improved Multi-objective Mixed Integer Optimization Algorithm and Its Application in the Optimization of Steam Power System

WEI Chang, DU Wen-li

(Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Process, Ministry of Education,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237, China)

By adoptingεconstraint to handle mixed average Gbest selection,this paper proposes a new multi-objective particle swarm algorithm for improving convergence and diversity,and increasing the applicable scope.The proposed algorithm adopts a new average Gbest selection mechanism,considers Euclidean distance of the particle and non-dominated solutions of archives and corresponding to the target function value such that the convergence and diversity of algorithm can be improved.Besides,an improved constraint handling mechanism with relaxation phase is utilized,in which some excellent infeasible solutions are allowed to join in early stage so as to improve the ability to jump out of local optimum.Moreover,the proposed algorithm blends the discrete variables coding mechanism of Sigmoid function such that this algorithm can handle mixed integer problem to increase the applicable scope of algorithm.Compared with the classical MOPSO,NSGA2 and SNSGA,the proposed algorithm has advantages in convergence and distribution of steam power system in ethylene plant,which further proves the effectiveness of the algorithm.

multi-objective particle swarm; three-points random Gbest selection;εconstraint handling; discrete variables coding; steam power system

1006-3080(2016)06-0827-08

10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.06.013

2016-03-02

国家自然科学基金(61403141, 61573141); 上海市教育委员会和上海市教育发展基金会“曙光计划”

魏 畅(1989-)，男，湖北武汉人，硕士生，主要研究方向为建模优化。E-mail: 465299035@qq.com

杜文莉，E-mail: wldu@ecust.edu.cn

TP301

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