一种用于非线性系统辨识与控制的自组织模糊神经网络

寇增前, 张建华, 王如彬

(华东理工大学 1.信息科学与工程学院; 2.理学院, 上海 200237)

一种用于非线性系统辨识与控制的自组织模糊神经网络

寇增前1, 张建华1, 王如彬2

(华东理工大学 1.信息科学与工程学院; 2.理学院, 上海 200237)

提出了一种自组织模糊神经网络(Self-Organizing Fuzzy Neural Network,SOFNN),采用了误差反向传播算法与带遗忘因子的递推最小二乘法相结合的混合优化算法优化系统的模糊规则库及其参数,此外,也引入SRIC (Schwarz & Rissanen Information Criterion)准则设计模糊系统。将本文提出的方法应用于非线性系统的辨识与控制,并讨论了阈值参数对该方法性能的影响。仿真结果表明,本文方法能有效地防止模糊模型过拟合,提高模糊系统的泛化能力,进而提高控制性能。

模糊控制; 模糊系统; 自组织模糊神经网络; 非线性控制

模糊逻辑控制器是一种基于IF-THEN模糊规则的专家系统[1],它的优点是不需要预先知道被控对象的数学模型而能够利用专家已有知识和经验设计优良的控制系统[2-3]。模糊逻辑控制特别适合于那些难以建立精确数学模型、非线性、大滞后和时变的复杂过程系统,现已被广泛应用于各个领域[4]。

尽管模糊逻辑能以类似于人类的思维方式建立基于规则的模糊控制器,但是如何恰当地建立模糊规则是模糊控制的主要问题[3]。通常学习构建一个模糊系统包括两部分:结构学习和参数学习。结构学习是为了确定模糊规则的数目以及隶属函数,参数学习是为了确定模糊规则参数的值[5]。神经网络有很强的非线性拟合能力,可映射任意复杂的非线性关系,具有强大的自学习能力,而且学习规则简单,便于计算机实现。然而,其内部的推理过程和推理依据很难明确解释,即缺乏可解释性[6]。因此,将模糊逻辑与神经网络结合已经成为当前一个热门研究课题[5,7-8]。与单纯神经网络或模糊系统相比,模糊神经网络既具有模糊逻辑的优点[3](例如,推理方式采用类似于人类的思维方式的IF-THEN规则、易于与专家知识结合等),又具有神经网络的优点[6](例如学习和优化能力等)。通过这种方式,可以把神经网络的低级学习和计算能力引入到模糊系统,同样也可以把模糊系统高级的类似于人类的推理方式引入到神经网络[9-10]。模糊神经网络可用来学习隶属函数,也可以解释模糊规则,有关模糊神经网络的综述可参考文献[5]。

文献[11]指出,如果已有的规则不能很好地包含一个新输入输出数据对,则产生一条新的规则。基于此,文献[12]提出了一种自组织模糊神经网络(SOFNN),并使用误差反向传播学习算法优化系统相关参数。然而,误差反向传播学习算法收敛速度慢且容易陷入局部极小,并且该方法具有对网络权值的赋值随机性和对初始值的敏感性[13-14]。

本文基于文献[12]提出的自组织模糊神经网络,提出了一种改进的自组织模糊神经网络(SOFNN-FFRLS),系统的参数优化采用将误差反向传播学习算法和带遗忘因子的最小二乘算法相结合的混合优化策略。此外,一个好的模糊系统要做到复杂度和精度的合理折中,为了更合理地构建和评价模糊系统,本文引入了SRIC准则[15]。将本文提出的方法应用于非线性系统辨识与控制,与文献[12]中的方法相比,本文提出的自组织模糊神经网络具有更优良的控制性能。此外,在仿真实验中,针对阈值参数φ的合理取值进行了讨论,给出了选取参数φ的初步性结论。

1 自组织模糊神经网络

1.1 概述

本文方法中,模糊规则由一组IF-THEN语句表示,模糊规则的前件和后件使用高斯隶属函数表示,每条规则记为Ri,可用式(1)表示[16]。

(1)

1.2 自组织模糊神经网络的结构

第1层:输入数据x1,…,xn被归一化至[-1,1]。

图1 组织模糊神经网络结构图Fig.1 Structure of SOFNN

第2层:每个节点代表一个语言变量值,其作用是计算各输入分量属于各语言变量值模糊集合的隶属函数μji,其中j=1,…,n,i=1,…,M,n为输入维数,M为输入变量xi的模糊分隔数,也是模糊规则数。

第3层:每个节点代表一条模糊规则Ri,用来匹配模糊规则的前件,节点的输出被定义为激发强度fi,可以用式(2)表示。

(2)

第4层:将第3层产生的激发强度进行规范化处理,即

(3)

(4)

1.3 模糊规则的自组织生成方法

产生模糊规则的算法如下:

(1) 第1组输入的数据对产生1条新规则。

(5)

其中,M(t)是t时刻存在的规则数目。

(6)

其中,φ∈(0,1)是一个阈值参数。

(3) 对于每一个输入变量定义1个新的模糊子集μj,i=M(t)+1,并且在第5层产生1个新的节点。

1.4 算法参数

前件的隶属函数是高斯函数,用式(7)表示。

(7)

本文中模糊逻辑系统的后件是模糊单值,中心为c,新产生的规则参数初始化如下:

(8)

(9)

(10)

其中β是一个参数。

1.5 参数学习算法

很多学习策略均可应用于神经网络的参数学习,文献[12]应用误差反向传播学习算法[17]。取误差代价函数(仅考虑单输出情况):

(11)

根据文献[18]中的梯度下降法可以求出各个参数的具体优化公式如下:

(12)

(13)

(14)

式中η为学习效率。

1.6 参数学习算法的改进

改进后,后件参数优化公式如下:

(15)

(16)

(17)

其中:θ=[c1,c2,…,cm]为后件参数;λ为遗忘因子,取值一般为[0.9,1],K(t+1)为增益矩阵;φT为观测矩阵;P(t+1)为协方差矩阵。

1.7SRIC指标

通常,在使用基于神经网络的模型时,算法要运行多次才能选出合适的模型。本文引入SRIC[15]指标评价模糊系统,其计算公式如下:

(18)

s=ma+mc+cmr

(19)

式中:ma为前件参数个数;mc为后件参数个数;mr为模糊规则数;c为常数,一般取值为2～5,本文取值为3。

SRIC指标越小,表明系统误差越小,产生的规则数越少,系统越合理。

2 仿真示例

2.1 例1

考虑由差分方程描述的离散时间非线性系统[20]:

(20)

其中非线性函数,

(21)

假设该非线性函数未知,控制目标是要设计一个控制器u(k),使得闭环系统的输出y(k)能跟踪式(22)的参考模型的输出ym(k)。

(22)

式中,r(k)=3sin(2πk/25)。

如果函数g[y(k),y(k-1)]已知,则可用式(23)来构造控制器。

(23)

然而,因为g[y(k),y(k-1)]未知,所以控制器不能实现。为了解决这一问题,可以将g[y(k),y(k-1)]用自组织模糊控制系统取代,即

(24)

其中:fk[y(k),y(k-1)]为自组织模糊神经网络。

用式(25)的非线性差分方程来描述闭环系统的动态特征:

(25)

整个控制系统的框图如图2所示。由图2可以看出,控制器由辨识器和控制器两部分组成,辨识器利用模糊系统fk来逼近未知非线性函数g,然后再把fk复制到控制器中。

图2 控制系统的整体框图Fig.2 Configuration of the control system

仿真过程中先用辨识器辨识未知的系统,选定输入u(k)为独立同分布的随机信号,随机信号均匀分布在[-3,3]。分别使用SOFNN和SOFNN-FFRLS两种方法设计控制系统,辨识过程终止于k=400,迭代次数500,得到fk,然后根据式(24)设计控制器并应用于控制系统。仿真中取φ=0.005,β=0.4,η=0.05,λ=0.999 5。

图3示出了两种方法非线性部分g[y(k),y(k-1)]的辨识曲线fk、实际曲线g及误差曲线Error。通过对比可以发现,SOFNN和SOFNN-FFRLS都能较好地拟合非线性部分g[y(k),y(k-1)]。

图3 非线性部分辨识曲线和实际数据的比较Fig.3 Comparison of the nonlinear partial identification curve and practical date

SOFNN和SOFNN-FFRLS两种方法分别产生12条、11条规则。图4示出了两种方法输入变量y(k)、y(k-1)的模糊划分。表1和表2分别给出了两种方法所产生模糊规则的前件以及后件的具体参数值。

表1 SOFNN模糊规则的参数(i=1,2,…,12)Table 1 Parameters of SOFNN(i=1,2,…,12)

图4 输入变量的模糊划分Fig.4 Fuzzy partitions of input variables

图5和表3分别示出了两种方法闭环系统的输出y(k)和参考模型的输出ym(k)以及相关性能指标的比较。其中,IAE是绝对误差积分准则,其值越小,系统的瞬态响应越好;ISE是平方误差积分指标,其值越小,系统的响应速度越快。

表2 SOFNN-FFRLS模糊规则的参数(i=1,2,…,11)Table 2 Parameters of SOFNN-FFRLS(i=1,2,…,11)

图5 闭环系统输出和参考模型输出的比较Fig.5 Comparison of out of closed-loop system and reference model表3 两种方法性能对比Table 3 Performance comparison of two SOFNNs

方法规则数待优化参数个数辨识RMSEISEIAESRIC计算时间/sSOFNN12600.03161.418518.4520-4.2039239.7698SOFNN-FFRLS11550.03950.930115.4615-4.7458226.6166

对比图5和表3可以发现,虽然SOFNN-FFRLS系统非线性部分的辨识精度略低于SOFNN系统,但是SOFNN-FFRLS系统能够产生较少的规则,并且RMSE、IAE、ISE、SRIC指标值均小于SOFNN系统,表明其控制效果明显优于SOFNN系统。此外,通过表3也可以看出,与SOFNN系统相比,SOFNN-FFRLS系统产生的规则较少,需要优化的参数(每条规则前件参数4个,后件参数1个)也较少,在电脑配置(处理器为Intel(R) Core(TM)2 Duo,主频2.2 GHz;系统内存2 GB;操作系统为Windows 7 家庭普通版;运行环境为MATLAB R2014a)相同条件下,SOFNN-FFRLS系统具有更快的运行速度。

由前文可以看出,自组织模糊神经网络中阈值参数φ的取值直接影响系统产生模糊规则的数目,进而影响控制性能。对例1中参数φ的取值进行分析,采用前文所提两种方法进行研究,发生仿真中阈值参数φ∈[0.001,0.2]时,步长为0.001；φ∈[0.2,0.8]时步长为0.01,相关参数β=0.4,η=0.05,λ=0.999 5。

图6示出了系统产生规则数目随阈值φ的变化情况,可以看出,φ越大,产生规则数目越多。同时可以明显看出,当φ变大时,SOFNN-FFRLS方法可以有效减少模糊规则数目。

图7示出了非线性部分辨识过程RMSE随阈值φ变化曲线。可以看出φ越大,辨识RMSE越小,同时也可以看出,SOFNN-FFRLS方法辨识效果总体优于SOFNN方法。

图6 规则数随阈值φ变化曲线Fig.6 Variation of number of rules with threshold φ

图7 辨识RMSE随阈值φ变化曲线Fig.7 Variation of identification RMSE with threshold φ

图8～图10分别示出了系统性能指标ISE、IAE、SRIC随阈值φ的变化情况。通过对比可以看出,当φ∈[0.001,0.2]时,随着φ的增大,IAE、ISE性能指标值的总体趋势减小,当φ∈[0.2,0.8]时,φ值的变化对于控制性能指标IAE、ISE影响不大。SRIC指标随φ的增大总体趋势增大,而SOFNN-FFRLS方法的SRIC值要小于SOFNN方法,φ取0.005时,本文方法的SRIC指标取最小值。

图8 性能指标ISE随阈值φ变化曲线Fig.8 Variation of ISE criteria with threshold φ

图9 性能指标IAE随阈值φ变化曲线Fig.9 Variation of IAE criteria with threshold φ

图10 性能指标SRIC随阈值φ变化曲线Fig.10 Variation of SRIC criteria with threshold φ

通过以上分析可以看出,SOFNN-FFRLS方法的控制效果优于SOFNN方法。

2.2 例2

考虑如下的非线性系统:

(26)

其中,非线性部分,

(27)

假设非线性函数是未知的,目标是设计一个控制器u(k),使得y(k)能跟踪式(28)的参考模型。

ym(k+1)=0.32ym(k)+0.64ym(k-1)-

(28)

采用相同的思想,选定

0.64y(k-1)-0.5y(k-2)+sin(2πk/25)

(29)

其中,fk[y(k),y(k-1),y(k-2)]是模糊神经网络构成的模糊系统,控制方案的整体框图与图2相同。

仿真过程中先用辨识器辨识非线性部分,辨识过程终止于k=800,迭代次数500,仿真中取φ=0.003,β=1.05,η=0.05,λ=0.999 5。

图11示出了两种方法非线性部分的辨识曲线fk、实际曲线g以及误差曲线Error。可以看出,SOFNN和SOFNN-FFRLS仍然都能较好地拟合非线性部分。

两种方法分别产生24条、20条模糊控制规则。图12分别示出了两种方法输入变量y(k)、y(k-1)、y(k-2)的模糊划分。表4和表5分别给出了两种方法所产生模糊规则的前件以及后件的具体参数值。

图11 非线性部分辨识曲线和实际数据的比较Fig.11 Comparison of identification curve of nonlinear partial and practical date

图12 输入变量的模糊划分Fig.12 Fuzzy partitions of input variables表4 SOFNN模糊规则的参数(i=1,2,…,24)Table 4 Parameters of SOFNN(i=1,2,…,24)

规则规则前件规则后件(mi1,δi1)(mi2,δi2)(mi3,δi3)ci1(-0.0104,0.1457)(-0.0035,0.0008)(-0.0088,0.1487)-0.00042(-0.6765,0.2039)(0.0629,0.1820)(0.1981,0.2931)-0.05973(0.0298,0.1407)(-0.5701,0.1639)(-0.1120,0.3084)-0.03974(0.4199,0.3620)(0.0308,0.3156)(-0.5024,0.1814)-0.00865(0.4233,0.2273)(0.4339,0.2243)(-0.0602,0.4459)0.42736(0.2664,0.0852)(0.6423,0.2141)(0.4631,0.1365)0.19367(-0.0572,0.3073)(0.0681,0.5442)(0.5128,0.1863)-0.00098(-0.3340,0.1788)(-0.3869,0.2060)(-0.0910,0.4331)0.36069(-0.0093,0.2533)(0.5747,0.1817)(-0.2583,0.4403)0.029910(-0.3239,0.1819)(0.4741,0.2311)(-0.0471,0.4431)-0.445311(-0.3019,0.1636)(0.0378,0.3586)(-0.5705,0.23156)-0.007412(-0.9139,0.3368)(-0.2320,0.1357)(0.3243,0.2287)0.192413(-0.4450,0.0943)(-1.0064,0.1352)(-0.3540,0.1727)0.228514(0.0832,0.2833)(-0.4559,0.2606)(-0.8499,0.2970)-0.000115(0.5003,0.2347)(-0.3662,0.2054)(0.0709,0.3876)-0.487916(0.4350,0.1989)(-0.5227,0.2196)(-0.4022,0.3468)-0.265217(0.2105,0.1756)(0.3941,0.1663)(0.9143,0.2437)0.033618(-0.3441,0.2274)(0.3296,0.1885)(0.9867,0.2027)-0.048619(-0.1799,0.1081)(-0.6203,0.1309)(0.0681,0.2925)0.191820(0.9017,0.2771)(0.8042,0.1728)(0.5513,0.2060)0.275521(0.5724,0.1814)(-0.0522,0.3100)(0.3659,0.4974)0.069722(-0.6416,0.1460)(-0.5281,0.2522)(0.0892,0.2292)0.339223(-0.02781,0.0164)(-0.0141,0.0121)(-0.0095,0.1546)0.000324(0.5243,0.1610)(0.6858,0.1708)(0.9668,0.1864)0.1400

表5 SOFNN-FFRLS模糊规则的参数(i=1,2,…,20)Table 5 Parameters of SOFNN-FFRLS(i=1,2,…,20)

图13和表6分别示出了两种方法闭环系统的输出y(k)和参考模型的输出ym(k)以及相关性能指标的比较。通过对比可以发现,虽然SOFNN-FFRLS系统非线性部分的辨识精度略低于SOFNN系统,但是SOFNN-FFRLS系统能够有效减少模糊规则数目,并且IAE、SRIC指标值均小于SOFNN系统,表明其控制效果明显优于SOFNN系统。此外,通过表6也可以看出,SOFNN-FFRLS系统产生的规则较少,需要优化的参数(每条规则前件参数6个,后件参数1个)也较少,在电脑配置(同例1)相同条件下,SOFNN-FFRLS系统具有更快的运行速度。

图13 闭环系统输出和参考模型输出的比较Fig.13 Comparison of output of closed-loop system and reference model表6 两种方法性能对比Table 6 Performance comparison of two SOFNNs

方法规则数待优化参数个数辨识RMSEISEIAESRIC计算时间/sSOFNN241680.03973.299630.6721-1.20281306.5762SOFNN-FFRLS201400.06143.805029.6571-1.65941111.4618

针对例2中参数φ的取值进行分析,采用前文所述两种方法同时进行研究,仿真中阈值参数φ∈[0.001,0.5],其中,当φ∈[0.001,0.2]时步长为0.001,当φ∈[0.2,0.5]时步长为0.01,相关参数β=1.05,η=0.05,λ=0.999 5。

图14示出了系统产生规则数目随阈值φ的变化情况。可以看出,φ越大,产生规则数目越多。同时,也可以明显看出,当φ变大时,SOFNN-FFRLS方法可以有效减少模糊规则数目。

图14 规则数随阈值φ变化曲线Fig.14 Variation of the number of rules with threshold φ

图15示出了非线性部分辨识过程RMSE随阈值φ变化情况,可以看出φ越大,辨识RMSE越小,SOFNN-FFRLS方法辨识效果与SOFNN方法基本相同。

图16～图18分别示出了系统性能指标ISE、IAE、SRIC随阈值φ的变化情况。可以看出,当φ∈[0.001,0.2]时,随着φ的增大,IAE、ISE性能指标值的总体趋势减小,当φ∈[0.2,0.5]时,φ值的变化对于控制性能指标IAE、ISE影响不大。SRIC指标随φ的增大总体趋势增大,而本文方法SRIC指标的值要小于SOFNN方法,φ取0.003时,本文方法的SRIC指标取最小值,也是两种方法SRIC指标的最小值。

图15 辨识RMSE随阈值φ变化曲线Fig.15 Variation of identification RMSE with threshold φ

通过以上分析对比,可以看出,SOFNN-FFRLS方法控制效果优于SOFNN方法。

3 结 论

本文提出了一种改进的自组织模糊神经网络(SOFNN-FFRLS),采用混合优化策略优化系统的模糊规则库及其参数。通过仿真分析,可以得出:

图16 性能指标ISE随阈值φ变化曲线Fig.16 Variation of ISE criteria with threshold φ

图17 性能指标IAE随阈值φ变化曲线Fig.17 Variation of IAE criteria with threshold φ

图18 性能指标SRIC随阈值φ变化曲线Fig.18 Variation of SRIC criteria with threshold φ

(1) SOFNN-FFRLS方法与SOFNN相比,能够有效减少模糊规则的数目,减小控制误差,提高系统控制性能。同时,由于模糊规则数目减少,系统泛化能力提高,在辨识误差略大的情况下仍然能够取得较好的控制效果。此外,规则数目减少,使得需要优化的参数减少,系统的计算效率得以提高。

(2) SOFNN-FFRLS方法中阈值参数φ对于系统的控制性能有较大影响。当φ超过一定范围,产生模糊规则数目过多,系统将出现过拟合现象,系统的控制效果变差。

(3) 通过引入SRIC指标,将系统的复杂度和精度合理折中,使得模糊系统避免过拟合现象,泛化能力提高。

(4) 通过阈值参数φ取不同的值对系统性能进行了分析,给出了φ取值的初步原则。下一步工作将从算法本身出发,分析φ的取值对系统性能的影响,给出数学分析结论。

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A Self-organizing Fuzzy Neural Network for Identification and Control of Nonlinear Systems

KOU Zeng-qian1, ZHANG Jian-hua1, WANG Ru-bin2

(1.School of Information Science and Engineering; 2.School of Science,East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China)

In this paper we design a self-organizing fuzzy neural network (SOFNN) by structure learning and parameter learning.A hybrid learning algorithm,by integrating back propagation and recursive least-squares (RLS) algorithm with forgetting factor,is used to learn the optimal parameters of the SOFNN.Furthermore,a fuzzy system is constructed and evaluated under the Schwarz & Rissanen information criterion (SRIC).Finally,several simulation examples of identification and model-reference tracking control of nonlinear systems are presented and analyzed to demonstrate the effectiveness of the proposed method,and the effect of the threshold parameter in fuzzy rule learning algorithm is also discussed.The simulation results show that this method can effectively prevent the system from overfitting,improve the generalization ability of the system,and acheive the control performance of the system.

fuzzy control; fuzzy systems; self-organizing fuzzy neural network; nonlinear control

1006-3080(2016)06-0835-10

10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.06.014

2016-01-18

国家自然科学基金(61075070)；国家自然科学基金重点项目(11232005)

寇增前(1989-)，男，山东人，硕士生，研究方向为自组织模糊控制。E-mail: kouzengqian@126.com

张建华，E-mail: zhangjh@ecust.edu.cn

TP273.4

A