隐藏型混沌纠缠系统的存在特性

颜闽秀, 张 萍

(沈阳化工大学信息工程学院, 沈阳 110142)

混沌系统因具有遍历性、初值敏感性和随机性等特殊性质而被广泛应用于图像加密和保密通信等领域[1-3]．近年来, 混沌系统的系统构造和混沌特性的产生备受关注．2013年, Zhang等[4]首次提出混沌纠缠的概念, 以一个纠缠函数连接线性系统和混沌系统形成混沌纠缠系统, 并对该系统进行一系列动力学特性分析及电子电路实现,改变了仅通过线性系统是不可能产生混沌的固有思想．由于混沌纠缠有助于将混沌系统应用于工程实践, 以及混沌纠缠系统复杂的动力学特性, 陆续有学者展开对混沌纠缠系统的探究．Liu等[5]研究某一子空间与另一子空间的纠缠, 发现相干扰损失与纠缠度强弱有关, 并通过探讨系统的粒子内纠缠, 表明混沌可以提高自旋轨道的纠缠特性; Eshaghi等[6]探究了分数阶纠缠混沌系统的动态行为, 通过线性反馈控制消除混沌振动; Yao等[7]验证了新型纠缠混沌系统中Hopf分岔的存在性．继2010年在蔡氏电路中发现第一个隐藏的混沌吸引子后, 混沌系统产生的吸引子被分为自激吸引子和隐藏吸引子[8]．隐藏吸引子通常存在于具有一个稳定平衡点、不具有平衡点或具有无穷多平衡点的混沌系统．Fang等[9]提出新型具有隐藏吸引子的分数阶混沌系统, 并分析了该系统产生的吸引子共存现象; Yang等[10]提出一个新的六维隐藏型超混沌系统, 该系统具有许多不寻常的复杂动力学行为, 如无限多个奇异退化的异宿环以及从奇异轨道到隐藏的超混沌吸引子的分岔等．目前, 包含隐藏吸引子的混沌纠缠系统鲜少见诸报道．本文拟在混沌纠缠和隐藏吸引子的基础上构建混沌纠缠系统模型, 分析系统的初始值敏感性和平衡点稳定性等混沌特性, 探究混沌纠缠系统存在隐藏混沌吸引子的可行性条件和隐藏吸引子共存现象, 进而探讨整数阶和分数阶条件下所构建的隐藏型混沌系统中由单一状态变量指数改变引起的系统动力学行为．

1 系统模型建立

如果2个或2个以上的线性子系统在被非线性函数纠缠时能够以混沌的方式呈现, 则称之为混沌纠缠[4]．该非线性函数被称为纠缠函数．考虑二维线性子系统

(1)

和一维线性子系统

(2)

式中x,y,w为状态变量;a为未知参数, 当a<0时, 2个子系统均处于稳定状态．

组合线性子系统(1)(2), 同时引入纠缠函数, 如正弦函数sinw, sinx, 得到混沌纠缠系统

(3)

式中参数b为纠缠系数．

2 动力学特性分析

2.1 初始条件敏感性

给定参数a=-2,b=15,初值为(0.5,0.5,0.5), 可得系统(3)的吸引子图和相图, 如图1所示．由图1可见: 系统(3)的吸引子运动轨迹复杂, 相互纠缠, 结构具有折叠性、重复性和延伸性．

图1 混沌系统(3)的吸引子图(a)和相图(b)Fig.1 Attractor diagram (a) and phase diagram (b) of chaotic system (3)

为深入探究系统(3)的混沌特性, 在上述给定初始条件下得到系统(3)的Lyapunov指数图, 如图2(a)所示．进一步地, 对初值添加微小扰动探究系统(3)对初值的敏感性, 分别设定初值为(0.5,0.5,0.5)和(0.5,0.5,0.5+e-10), 得到系统(3)在不同初始条件下的时间序列, 如图2(b)所示．

图2 系统(3)的Lyapunov指数图(a)和时间序列(b)Fig.2 Lyapunov exponent diagram (a) of system (3) and time series (b)

由图2可知: Lyapunov指数存在正数、零和负数,故该系统是混沌的; 尽管2个初值相差甚微, 在约50 s后迭代轨迹却出现明显差异, 表明系统(3)对于初值的选取具有强烈的敏感性．

2.2 平衡点稳定性

令系统(3)左侧为零,有

(4)

于是, 可得平衡点为E(0,0,0),雅可比矩阵为

(5)

利用Routh-Hurwitz稳定性判据验证平衡点的稳定性．在判据中含有多项式P(λ)=λ3+c1λ2+c2λ+c3, 当且仅当c1,c2,c3均为非负实数且不等式c1c2>c3成立时,P(λ)的所有解具有负实部,即系统在平衡点是稳定的．

由式(4)(5)可知,c1=c2=1-a,c3=-b2-a．当a=-2时, 根据Routh-Hurwitz稳定性判据, 系统(3)是具有稳定平衡点的隐藏吸引子．

3 系统吸引子共存现象

设置参数a=-2, 分别选取初值(0.5,0.5,0.5)和(-0.5,-0.5,-0.5), 得到如图3～4所示的分岔图和Lyapunov指数图．

图3 系统(3)在不同初值下的分岔图Fig.3 Bifurcation diagram of system (3) under different initial values

图4 系统(3)的Lyapunov指数图Fig.4 Lyapunov exponent diagram of system (3)

由图3～4可知: 1) 系统(3)在选取不同初值时, 分岔图中的密集点存在明显的差别, 说明系统(3)在同一时刻的动力学行为发生了改变, 存在吸引子共存现象; 2) 当参数b∈[5,8.68]∪(12.34,13.92]∪(18.02,18.78]时, 系统(3)处于周期状态; 当b∈(8.68,12.34]∪(13.92,18.02]∪(18.78,20]时, 系统处于混沌与周期交替的状态．

为了更直观地展示图3中的吸引子共存现象, 保持参数a=-2, 在上述初值条件下, 当纠缠系数b分别为6,13,15.72,17.65时系统(3)的吸引子共存现象如图5所示．由图5可见: 系统(3)在不同初值条件下可通过选取不同的纠缠系数产生不同类型的吸引子共存,包含周期吸引子共存、倍周期吸引子共存和混沌吸引子共存.同时, 也进一步表明系统(3)对初值的敏感性及其具有隐藏吸引子共存的特点．

图5 系统(3)吸引子共存现象Fig.5 Coexistence of attractors of system (3)

4 整数阶隐藏型混沌系统的混沌特性分析

以Sprott A的系统模型[11]为基础, 参照系统(3)的纠缠系统构造方法, 得到不具有平衡点的整数阶隐藏型混沌系统:

(6)

式中z为状态变量;参数n为状态变量y的阶数,n∈N+．

对动态系统的可观测数据集选择任意常数β∈R+进行0-1测试[12]．定义0-1测试算法公式如下:

(7)

为了更直观地展示系统(6)在参数n取值变化时的动力学行为, 以n=1,2,7为例, 给定参数值a=-2,b=8, 选取初值(0.5,0.5,0.5,0.5), 得到系统(6)的分岔图和0-1测试效果图, 如图6～7所示．由图6～7可见: 系统(6)在整数阶条件下依然存在隐藏吸引子, 0-1测试效果图呈现布朗运动, 说明系统(6)在选定的初始条件下保持混沌状态; 当n=2,7时, 系统(6)的动力学轨迹和0-1测试效果图展现的布朗运动在不同取值条件下差异明显．由此表明, 系统(6)在特定初始条件下存在稳定的隐藏吸引子．

图6 系统(6)在不同参数下的吸引子图Fig.6 Attractor diagram of system (6) under different parameters

图7 系统(6)在不同参数下的测试效果图Fig.7 Test effect diagram of system (6) under different parameters

经仿真验证, 当n=3,4,5,6,11,18,36,40,50时, 系统(6)均处于混沌状态且存在隐藏吸引子．为了探讨参数n对系统(6)形成混沌吸引子的影响, 现计算系统(6)的耗散度

(8)

利用谱熵(spectral entropy, SE)复杂度算法和C0复杂度算法[13]分析系统(6)的复杂动力学特性．设定系统(6)的初始条件a=-2,b∈[5,20], 初值(0.5,0.5,0.5,0.5),n=1, 得到SE复杂度和C0复杂度, 如图8所示．由图8可见, 系统(6)的SE复杂度基本维持在0.8以上,C0复杂度维持于0.6以上, 表明系统(6)的动力学行为复杂．

图8 系统(6)的SE复杂度(a)和C0复杂度(b)Fig.8 SE complexity (a) and C0 complexity (b) of system (6)

表1为本文混沌系统与文献[14]中经典混沌系统的SE复杂度和C0复杂度的最大值对比结果．由表1可知, 包含隐藏吸引子的混沌系统(6)具有更高的复杂度, 动力学行为更加复杂．

表1 系统(6)与经典混沌系统的SE复杂度和C0复杂度最大值对比Tab.1 Comparison of maximum SE and C0 complexity between system (6) and classical chaotic system

5 分数阶隐藏型混沌系统的混沌特性分析

将系统(6)转换为如下分数阶系统:

(9)

其中阶次0

对系统(9)左侧赋值为0, 经计算可得系统(9)不存在平衡点, 说明系统(9)在分数阶条件下依然存在隐藏吸引子．设定初始条件q=0.98,a=-2,b=8, 初值(0.5,0.5,0.5,0.5)．当n=1,2,5时,x-w平面的相图和Lyapunov指数图如图9～10所示．由图9～10可知: 1) 当单一状态变量的阶次n取值不同时, 系统(9)存在运动轨迹不同的隐藏吸引子．其可能原因是单一状态变量阶次的改变导致系统(9)的系统结构发生变化,动力学行为轨迹产生明显差异; 2) Lyapunov指数图表明系统(9)在较长的时间范围内依旧保持混沌．上述结果表明, 系统(9)的混沌特性在分数阶条件下依然相对稳定．

图10 参数n=1,2,5时, xw平面的Lyapunov指数图Fig.10 Lyapunov exponent diagram of xw plane when parameter n=1,2,5