R3中一类Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统的高能量径向解的存在性

杨金富, 张家锋

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院, 贵阳 550025)

Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统的一般形式为

(1)

该系统有很强的物理学背景,许多研究者对该类系统的正解和多解进行了大量的研究,取得了丰富的结果．Li等[1]在非线性项f(x,u)是一般奇异项的假设下, 得到了系统(1)解的存在唯一性; Lü[2]考虑了具有一般非线性项的系统, 通过对非线性项f的限制, 利用单调性方法和截断技术, 得到了系统(1)正径向解的存在性; Zhang[3]研究了一类带有奇异项的系统(1), 通过变分法与Nehari流形相结合的方法, 得到该类系统正解的存在性、唯一性以及多重性结果．

1 主要成果

考虑Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统

(2)

其中a>0,b>0, 4.5

定理1假设a>0,b>0,4.5

注2本文给出含有纯幂次非线性项f(x,u)=|u|p-2u(4.5

嵌入H1(R3)Lp(R3) (2

0, 使得对任意u∈H,p∈[2,6], 有‖u‖p≤C0‖u‖．此外, 根据文献[15]知嵌入HLp(R3) (2

引理3对于任意u∈H1(R3), 有

i) 任意u∈H1(R3),φu≥0, 且‖φu‖D1,2(R3)≤C1‖u‖2(∃C1>0);

ii)φtu=t2φu, ∀t>0, ∀u∈H1(R3);

iii) 若在H中有un⇀u, 则D1,2(R3)中就有φun⇀φu,且

v) 如果u(x)是径向函数, 则φu也是径向函数．

利用变分法可将问题(2)等价转化为I(u)=minu∈HJ(u) (φu∈D1,2(R3)), 其中

(3)

且J(u)关于任意v∈H的弱导数为

(4)

命题4(喷泉定理)[15]设X是一个无限维巴拿赫空间,φ∈C1(X,R)并满足(PS)c条件, 且φ(-u)=φ(u) (∀u∈X), 若∀k∈N, ∃ρk>γk>0, 有: i)bk=infu∈Zk,‖u‖=γkφ(u)→+∞(k→+∞); ii)ak=maxu∈Yk,‖u‖=ρkφ(u)≤0, 则φ(u)存在一个临界序列{uk}, 使得φ(uk)→+∞(k→+∞)．

2 定理1的证明

受文献[11,13]的启发, 对于任意u∈H{0}, 可先考虑这样一条路径,设

γt(x)=t-2u(t-1x),t>0,

(5)

则

(6)

且

(7)

由式(6)知, limt→0+‖γt(x)‖2=+∞且limt→+∞‖γt(x)‖2=0, 故对于任意u∈H{0}, 存在唯一的Tu>0, 使得

(8)

此外, 当‖u‖→+∞时,‖Tu‖→+∞．由式(5)知, 对于任意u∈H, 都有唯一的t-2u(t-1x)与之对应, 则可以做一个一对一的函数FTu:H→S,

(9)

且

(10)

其中S={u∈H:‖u‖=1}是一个单位球面．

引理5J(u)关于u是偶的．

证明 由式(3)知J(0)=0, 且

故J(u)关于u是偶的．

引理6对于任意c∈R,J(u)满足(PS)c条件．

证明 设序列{un}⊂H使得

J(un)→c,J′(un)→0．

(11)

由式(3)和(4)知

两式相减, 得

(12)

由于a>0, 4.5

limn→+∞(c1+on(1))=c1,

(13)

(14)

有c1=+∞, 显然矛盾,故假设不成立．因此,序列un在H中是有界的, 有

(15)

(16)

引理7J(u)满足命题4中条件(i), 即设a>0,b>0,4.5

0, 使得

bk=infu∈Zk,‖u‖=γkφ(u)→+∞(k→+∞)．

证明 由文献[7]中引理2.5知, 当2

βk(p)=supu∈Zk,‖u‖=1‖u‖p→0(k→+∞),

(17)

(18)

即存在γk>0, 使bk=infu∈Zk,‖u‖=γkJ(u)→+∞ (k→+∞)．

引理8J(u)满足命题4中条件(ii), 即设a>0,b>0,4.5

0, 使得ak=maxu∈Yk,‖u‖=ρkJ(u)≤0．

则由实数的稠密性可知, 存在‖uk‖∈R有-∞γk>0, 对任意u∈Yk,max‖u‖=ρkJ(u)≤0成立．