带有分数阶扩散的趋化模型古典解的长时间渐近行为

姚丽丽, 姜克瑞, 刘祖汉, 周 玲

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

近年来, 由于分数阶算子能够更好地模拟细胞的扩散[1-3], 因此具有分数阶扩散的趋化模型能更好地模拟生物群体中的竞争、繁殖和疾病的传播等过程[4-6]．Wang等[7]研究了具有相同分数阶扩散的趋化模型, 证明了该模型的解关于时间t的衰减性, 同时还得到了古典解的存在唯一性及任意阶导数关于时间的衰减估计．本文拟在Rn(n≥2)全空间中, 探讨带有分数阶扩散的抛物-抛物-椭圆趋化模型

(1)

解的存在唯一性及衰减估计, 其中u(x,t)表示细胞的浓度,v(x,t)和w(x,t)分别代表细胞自身分泌的吸引性和排斥性化学物质的浓度; -·((v)v)表示细胞朝着趋化剂浓度增加的方向运动,·(uξ(w)w)表示细胞朝着远离趋化剂浓度增加的方向运动, 式中正函(v)和ξ(w)分别表示吸引和排斥的强度; 参数α,β,γ,δ均为正常数, 其中α和γ是u的生产率,β是v的降解率,δ是w的降解率．

1 预备知识

(2)

(3)

引理1[7]Kt(x)满足: ‖Kt(x)‖L1(Rn)≤Ct-1/(2s), ‖(-Δ)rKt(x)‖L1(Rn)≤Ct-r/s, ∀0

考虑n维齐次热传导方程的Cauchy问题

(4)

由Fourier变换求解得u(x,t)=Kt*φ(x), 则可得下面几个衰减估计．

引理2[7]若任意整数N≥0, 假设u(x,t)=Kt*φ(x)是问题(4)的解, 则有

‖Kt*φ(x)‖WN,∞(Rn)≤C(1+t)-n/(2s)‖φ(x)‖WN+n+1,1(Rn),

‖Kt*φ(x)‖WN,1(Rn)≤C‖φ(x)‖WN,1(Rn),

‖Kt*φ(x)‖WN,p(Rn)≤Ct-n(1/q-1/p)/(2s)‖φ(x)‖WN,q(Rn),

‖(Kt*φ(x))‖WN,∞(Rn)≤C(1+t)-(n+1)/(2s)‖φ(x)‖WN+n+2,1(Rn),

‖(Kt*φ(x))‖WN,1(Rn)≤C(1+t)-1/(2s)‖φ(x)‖WN+1,1(Rn),

其中1

引理3[7]考虑问题

若φ∈Hm+s(Rn),F∈L2([0,T];Hm(Rn)), 其中m∈N,T>0,s∈(0,1), 则上述问题有唯一的解u=u(x,t),满足u∈L2([0,T];Hm+2s(Rn))及∂tu∈L2([0,T];Hm(Rn))．进一步, 有估计式

其中正常数C与时间T无关．

引理5[10]定义[∂k,f]g=∂k(fg)-f∂kg．当整数k≥1时,有

‖[∂k,f]g‖Lp(Rn)≤C(‖∂f‖Lp1(Rn)‖∂k-1g‖Lp2(Rn)+‖∂kf‖Lp3(Rn)‖g‖Lp4(Rn));

k≥0时, 有

‖∂k(fg)‖Lp(Rn)≤C(‖f‖Lp1(Rn)‖∂kg‖Lp2(Rn)+‖∂kf‖Lp3(Rn)‖g‖Lp4(Rn)),

其中p,p2,p3∈(1,+∞), 1/p=1/p1+1/p2=1/p3+1/p4．

2 解的全局存在唯一性及衰减估计

‖u0‖Wm,1(Rn)+‖u0‖Hm+1(Rn)+‖v0‖Wm-1,1(Rn)+‖Δv0‖Hm(Rn)≤E2,

(5)

证明 由问题(1)的等价形式

(6)

(7)

则方程的解为[11]

(8)

(9)

(10)

(11)