线性算子有界性的特征刻画

文生兰，韩艺兵(信息工程大学理学院，郑州450001)

线性算子有界性的特征刻画

文生兰，韩艺兵
(信息工程大学理学院，郑州450001)

古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却要求建立两个任意集合之间的某种对应关系，即算子。算子是泛函分析中最重要的概念之一，研究算子的有界性是分析理论关注的首要问题，本文证明了关于线性算子有界性的一些等价命题。

有界线性算子;赋范线性空间;强弱收敛点列

算子与经典数学中的函数、映射是一回事。通常将两个空间之间的对应关系称为算子，它在微分方程、积分方程和工程技术领域有很广泛的应用。了解有界线性算子的特征，对进一步开展理论和应用研究有很大作用。在判断算子的有界性时，仅通过定义有时是很复杂甚至是行不通的，本文给出了判断算子有界性的一些简便且有效的方法。

1　预备知识

定义2设X、Y是同一数域K上的赋范线性空间，D是X的线性子空间，T是D到Y的有界线性算子，则称

为算子T的范数。

引理1X、Y是同一数域K上的赋范线性空间，D是X的线性子空间，T是D到Y的线性算子，则T的范数可表示为

证明参看文献［1］。

引理2T:X→Y是线性赋范空间X到Y的线性算子，则下面命题等价

(1)T是有界线性算子;

(2)T是连续线性算子;

(3)存在x0∈T，使T在x0处连续;

(5)若{xn}⊂X，xn→x0，则T(xn)→T(x0)。

2　主要结果

定理1设X和Y都是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子。假如∀g∈Y*，h(x)=g(Tx)是X上的有界线性泛函，则T是X到Y的有界线性算子。

证明∀x∈X，记Fx∈X＊＊为x在自然映射下的像，则对x∈B(0，1)

由共鸣定理知，T是X到Y的有界线性算子。

定理2设X、Y是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，则下列三个命题等价:

(1)T是X到Y的有界线性算子;

(2)T把X中的弱收敛点列映射为到Y中的弱收敛点列;

(3)T把X中的收敛点列映射为Y中的弱收敛点列。

证明(1)⇒(2):设在X中{xn}弱收敛于x，即对任何f∈X*，有f(xn)→f(x)。

又设g∈Y*，则T*g∈X*，所以T*g(xn)→T*g (x)，即g(Txn)→g(Tx)，Txn弱收敛于Tx在Y中。

(2)⇒(3):由于强收敛点列一定是弱收敛的，所以由(2)显然得(3)。

(3)⇒(1):设{xn}强收敛于点x在X中，且∀g∈Y*，g(Txn)弱收敛于g(Tx)，即g在Tx连续，连续即有界，因此∀g∈Y*，h(x)=g(Tx)是X上有界线性泛函，由定理1知，T是X到Y的有界线性算子。

3　应用

例设X、Y是两个赋范线性空间，{Tn}n≥1⊂B (X，Y)，假如在X中xn→x，而{Tn}n≥1在B(X，Y)中弱收敛于T。证明:Tnxn在Y中弱收敛于Tx。

证明已知Tn是有界线性算子，由定理2知: Tn将X中的(强)收敛点列xn→x映射为Y中的弱收敛点列:Tnxn弱收敛于Tnx。又由于{Tn}n≥1在B (X，Y)中弱收敛于T，即∀x∈X，Tnx弱收敛于Tx，从而Tnxn在Y中弱收敛于Tx。

［1］胡国恩，朱月萍，刘宏奎，等．应用泛函分析［M］．西安:西安电子科技大学出版社，2012．

［2］张恭庆，林源渠．泛函分析讲义［M］．北京:北京大学出版社，2006．

［3］程其襄，张奠宙，魏国强，等．实变函数与泛函分析基础［M］．北京:高等教育出版社，2001．

［4］夏道行，吴卓人，严绍宗，等．实变函数论与泛函分析［M］．北京:高等教育出版社，2010．

(责任编辑赵冰)

Characteristics of Depicting the Bounded Linear Operator

WEN Sheng－lan，HAN Yi－bing
(College of Science，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China)

Function in the classical analysis is established between two data sets．The development of modern mathematics needs to set up a corresponding relationship between two arbitrary collections，namely，operator．Operator is one of the most important concepts in functional analysis．The boundedness of the operator is a primary issue in the theory of analysis．This article gets some equivalent propositions about the boundedness of the linear operator．

bounded linear operator;normed linear space;strong and weak convergence sequence

10．13783/j．cnki．cn41－1275/g4．2015．01．030

O177

A

1008－3715(2015)01－0127－02

2014－10－21

文生兰(1981—)，女，河南南阳人，信息工程大学理学院讲师，主要从事偏微分方程研究。