基于随机网络能量的电力系统暂态稳定评估

刘 铖，张昊鑫，朱晓锋，张艳军，徐洪涛，张轶平

(1.东北电力大学电气工程学院，吉林 吉林 132012；2.国网吉林供电公司，吉林 吉林 132012；3 国网辽宁省电力有限公司，辽宁 沈阳 110000；4 国网黑龙江省电力有限公司，黑龙江 哈尔滨 150000)

为实现以“碳达峰”、“碳中和”为发展目标的可持续发展的内在需求，有必要构建以可再生能源为主体的电力系统[1-2].近年来迅速普及的分布式的电源和电动汽车逐渐并网，以及大量的新能源接入电网，包含随机扰的不确定性因素将对电力系统的安全稳定造成影响[3].而在电力系统中，往往实际存在的随机因素更容易被忽略，由于随机因素引起的系统故障容易被漏掉.因此，及时发现系统中的不确定因素，对电力系统暂态稳定的评估有重大意义，从而保障电力系统安全稳定运行[4].

就传统电力系统而言，往往在工作状态下会出现大量的随机扰动，最具代表性的是原动机运转时产生的扭矩随机振动[4-7].不过当时的遗忘随机性相对较弱，使得学者和专家们在研究电力系统时往往将其忽略.现如今，电网规模持续扩展，新能源技术在各个领域广泛应用，加之电动汽车的普及，使得现代电力系统的结构趋于复杂化发展，随机性也越发显著[8-12].如文献[2]基于李雅普诺夫的能量函数和时域仿真，分析系统随机扰动对暂态稳定的影响.文献[5]在确定性模型的基础上，构造带有高斯型随即激励项的模型.文献[6]针对了不断增加的随机波动性风电功率队电力系统稳定性的影响，提出了一种随机空间下的电力系统建模方案，以此来建立电力系统抗干模型.文献[7]指出，应该基于特征分析法来研究评价电力系统的稳定性，并通过随机微分方程组来进行试验和验证，得出新的结论.上述研究文献选择电力系统作为研究对象，针对影响电力系统稳定性的随机因素进行了详细的阐述，并未具体分析电力系统暂态稳定与负荷侧随机扰动之间的关系.与此同时，涉及随机扰动下的电力系统薄弱环节有待研究.

分析暂态稳定，对系统受到随机扰动时的暂态稳定进行预防性评估.首先，对计及随机扰动的电力系统暂态稳定性现有方法基于随机网络能量函数，提出了基于随机扰动的电力系统数学模型，为后续研究奠定基础；其次，就随机电力系统应用状态下的暂态稳定评估指标体系进行构建与优化，研究了随机扰动的强度和类型对电力系统暂态稳定性的影响，最后，通过单机和十机算例的仿真分析了负荷随机性对系统暂态影响，验证本文所构建指标的准确性，为保证系统稳定运行提供实施更精准的调控措施.

1 电力系统随机网络能量函数构建

1.1 随机扰动数学模型

随机性对电力系统的影响可从随机性的扰动源进行切入展开研究与分析，主要包括两个方面，一方面是传统发电端的不确定性，另一方面是新能源发电的不确定性：如风力发电和光伏间歇性[13]；网络参数的不确定性：重点涉及随机故障对电网结构造成的实际影响[14]；电力系统负荷的不确定性：侧重于传统负荷变化的研究与分析[15].要研究随机扰动，首先要建立随机扰动的系统模型.一般来说，把随机扰动定义为随机过程.从数学层面来阐述随机过程的概念和定义，一般将其表述为一组随机变量，即给出一个已知的参数集，就某个参数点t设置对应的随机变量x(t)[15].这种情况下，随机变量近似理解为一个函数，然后用ω来代表随机变量x(t)集合中的某个点，用x(t,ω)来描述随机变量在ω情况下的实际值，此时就形成了一个完整的随机过程，主要和点偶(t,ω)函数有关，特定情况下也会受到概率分配的显著影响.假设t为常数，那么这里的二元函数就可以理解为ω函数，借助x(t)来描述随机变量[16-18].

假设随机过程在n维状态下的分布都服从正态分布，则被称为高斯过程.定义为一组随机变量的集合，且都服从联合正态分布.由高斯过程的定义可知，由正态分布的可加性，高斯过程(和其子集)的任意线性组合也是高斯过程.此外，由联合正态分布性质可知，若高斯过程有互不相关的随机变量相互独立.若一个随机过程{X(t),t≥0}满足：

(1)X(t)是独立增量过程；

(2)∀s,Δt>0,X(s+t)-X(s)～N(0,σ2Δt)，即X(s+t)-X(s)是期望为0，方差为σ2Δt的正态分布；

(3)X(t)关于t是连续函数.

则称{X(t),t≥0}是维纳过程或布朗运动,记为B(t)，导数记为W(t)，即

dB(t)=W(t)dt，

(1)

维纳过程是布朗运动的数学模型，高斯白噪声通常用维纳过程的积分形式来表示，在电力系统中用高斯白噪声型扰动来表示负荷功率随机波动，和一些其他随机变化.

1.2 单机系统随机网络能量函数构建

从本质属性来讲，随机连续扰动可近似理解为一个完整的随机过程，用确定性函数来定义随机过程的方法是不合理的，只能作为一次随机路径的样本来描述观测结果.实现随机过程大致分为频域方法和时域方法.频域方法描述了随机性的不同频率分量的特征，并研究它们对电力系统的影响.具体应用如图1所示.基于时频变换、功率谱方法等一系列方法，将随机性变换到频域，在频域分析特征后，再利用频域特征计算时域的相关指标.该类方法具有较强的物理意义，同时可以更高效地对新能源电力系统的运行状态进行评估.时域方法将传统负荷的随机波动特性的不确定性和电力系统动力学建模为随机微分方程，并通过随机分析的相关工具对其进行统一分析.与频域方法不同，时域方法可以更好地考虑电力系统中的约束和初始状态对电力系统的影响.

本文采用时域方法，利用随机微分方程对不确定性下的系统进行建模.环境激励被视为高斯过程的多机模型，随机扰动下的转子运动方程如下所示

(2)

公式中：δi为功率角；ωi为转速；Mi为机器i的惯性系数；t表示时间；Di为阻尼系数；Pmi为机械功率；Wi(t)为环境激励.

传统的暂态稳定是利用构造的能量型Lyapunov函数来展开研究与分析，获取系统稳定性的相关结论.我们通常无法基于确定性理论来定义随机扰动的概念，这种情况下应该利用概率稳定值来进行分析与界定.同步发电机受到严重干扰时的，会产生瞬态不稳定从而导致非线性行为.随机微分方程的Lyapunov函数考虑非线性随机系统为

dx=f(x,t)dt+g(x,t)∑(t)dWi(t),x(0)=x0∈Rn

.

(3)

将确定暂态稳定性的能量函数方法应用于负荷随机波动的随机扰动下，即将Lyapunov稳定性方法应用于随机微分方程系统，将中的转子运动方程两端同乘dδ/dt可得

(4)

公式中：δ为向角差.

将故障后的暂态过程中网络节点功率平衡方程带入上式中，建立计及随机扰动后的系统暂态能量函数：

(5)

图1 随机过程应用示意图

在公式(5)中，在不计电阻损耗的系统环境中，系统的势能表示成系统中所有支路的暂态势能总和，然后基于不同电路段的暂态能量和噪音来计算出系统总能量.这种情况下，应根据轨迹函数来更好地实现系统总势能的计算，以及对暂态稳定性的研究.

1.3 多机系统随机网络能量函数构建

若发电机电力系统模型为二阶模型，排除励磁调节器等产生的干扰，可建立功率固定条件下的负荷模型.构建增广网络后，假设把参考角设为节点n的电压相角δn，此时的电压相角算式如下所示.

αi =δi-δn，i=1,…,n-1

.

(6)

以l条线路为例，支路电压相角之间的差值

σk=δi-δj，k= 1,…,l

.

(7)

在上述算式中，支路k描述的是i与j形成的支路.

电压相角算式和列向量公式如下：

α= [α1,…,,αn-1]，σ=[σ1,…,σl]

.

(8)

然后

σ=ATα

.

(9)

在上述算式中：A为处理后的关联矩阵.

潮流函数公式

P=Ag(ATα)=f(α)，

(10)

在排除发电机与阻尼特性干扰的情况下，电力系统的状态空间算式如下：

(11)

公式中：ωg为角速度向量；Mg为惯性时间矩阵；Ps为有功功率向量；Tg为单位矩阵.

基于公式(11)，得到

.

(12)

用(αs,0)描述系统稳定平衡点(SEP)，得到系统暂态能量函数计算表达式

(13)

(14)

由公式(10)知，P=f(τ)=Ag(ATα)，则势能函数可以表示为

(15)

将σ=ATα带入公式(14),势能函数可变换为

(16)

公式中：bk=ViVj/xk，Vi、Vj为不同节点的电压；xkTg为电力系统暂态时的电抗；uTg为暂态下的积分变量.

基于σ0与公式(16)，可获得统暂态能量函数的计算表达式

(17)

基于公式(17)，按照系统能量轨迹可得到系统动能总和，利用暂态势能总和来描述增广网络支路势能，环境激励为系统增广网络所有支路的环境激励之和.

2 基于随机网络能量的暂态稳定评估指标

2.1 暂态稳定评估指标构建

电力系统是具有高耦合性复杂的大互联系统，越来越多的随机扰动出现会引起更多的负荷故障从而引起重大事故.暂态稳定状态下系统发生故障时，应根据临界能量来对系统稳定性进行评价和判断.

网络上的势能分布具有集聚性.在系统受到传统小干扰时的失稳表现主要以相角持续增大为主，使得系统的支路暂态势能在短时间内激增，系统失稳解列.失稳时导致系统在断面分割的系统中分担势能最大的一组支路定义为临界割集，整个系统的稳定程度可依据临界割集是否稳定来判断[1].本文为有效指出系统的临界割集定义了随机扰动下的暂态稳定指标SDSI(Stochastic Disturbing Stability Index)，具体表示为

图2 SDSI指标值分布示意图

图3 发电机功率的环境激励图

图4 算法流程图

图5 单机无穷大系统

(18)

公式中：Pls(tbi)为支路ls势能第一次达到极大值对应的有功功率；Pls为支路ls稳态时的有功功率；Vpbls(tbi,tai)为支路ls是该第一摆极大值和极小值的差值.

经过以上定义可得到，在系统受到短路故障时，某工况下SDSI值最接近0的一组支路为临界割集.SDSI值越接近0，说明系统的稳定性越弱.当支路的SDSI值等于0，表示此时的系统处于失稳状态.系统失稳时SDSI指标值示意图如图2所示，图3为负荷的环境激励.

对单机甚至多机系统而言，频率对应势能和功率参数浮动均对系统稳定性产生不同程度的影响，某一支路受到随机扰动时所对应的支路暂态势能激增.本文研究了在随机扰动下该指标的适用性.

2.2 算法流程图

3 算例分析

3.1 单机系统仿真分析

单机无穷大系统图如图5所示.在t=0 s-0.02 s于支路AC2施加三相短路故障,系统暂态能量图如图6所示.计算SDSI值并判断系统稳定.

系统在AC2处发生三相短路接地故障时，系统能量守恒，经计算此时各支路SDSI指标中支路AC1、支路AC2最小为50.209 4，因此系统稳定且在支路AC1、支路AC2处形成临界割集.

表1 各支路的SBI指标支路SBI值G1604.8040T1315.2795AC150.2094AC250.2094T2306.1346

图6 单机系统短路故障下的系统总能量曲线

图7 随机扰动下的系统总能量曲线

图8 多次临界割集的指标值分布

图9 ω=30时的支路暂态势能曲线

当系统负荷L1功率发生随机波动时,系统的总能量曲线如图7所示.

为了验证指标值的稳定性，在单机系统受100 s随机扰动中，本文以每次间隔5 s速度为0.2 s滑窗计算了100 s各支路的SDSI指标值.表2为多次滑窗计算中SDSI指标值的均值,表3为多次滑窗计算中SDSI指标值的方差.其中临界割集的SDSI指标值如图8所示，从中可以看出指标值遵循正态分布，具有很好的稳定性.

在负荷L1上施加ω=30，Δp=0.1的随机扰动时，图9可以看出系统在支路AC1、支路AC2的暂态势能最大，由表2和表3可知系统稳定，在支路AC1和AC2处形成割集.

表2 各支路100次SDSI指标均值支路SDSI均值G1939.0T11090.8AC1430.7AC2430.7T2667.57

表3 各支路100次SDSI指标统计方差支路SDSI方差G13.579x10-8T13.442x10-8AC17.368x10-6AC27.368x10-6T23.568x10-8

当随机扰动其他条件不变，当ω=6时，通过支路势能曲线和SDSI指标的计算结果可以看出系统的临界割集为{AC1、AC2}.

负荷功率的随机波动会影响系统的暂态稳定性，而含随机扰动的电力系统暂态稳定性受多种因素影响.在单机系统中含有随机扰动同时叠加短路故障同时发生导致系统失稳时，由表4可知系统的临界割集仍然不变.在负荷L1上设置多次只改变Δp的随机扰动，临界割集支路AC1稳定与失稳时的SDSI指标值分布如图10所示，图11为三相短路接地故障叠加随机扰动时的系统支路暂态势能曲线.部分临界割集支路的暂态势能如图12所示.

图10 ω=6时的支路暂态势能曲线图11 短路叠加随机扰动时的系统能量图图12 SDSI指标分布图13 临界割集支路在不同扰动下支路暂态势能曲线

表4 短路叠加随机扰动时的各支路指标

图14 十机系统

从图13中可以看出，系统稳定时，支路AC1的SDSI指标大于0.因此，当ω不变时，随着Δp增大，临界割集的支路的暂态势能增大，系统的稳定程度降低.

3.2 十机系统仿真分析

十机系统如图14所示，本文计算了在支路AC9-39上发生随机扰动时的系统的能量分布和SDSI指标值，可知系统能量守恒.

在负荷L3中施加ω=6，Δp=0.15的随机扰动时，计算系统的能量分布和支路SDSI.由表5可看出，支路2-1和支路8-9对应的SDSI指标值最小，因此系统的临界割集为{2-1，8-9}.

图15 十机系统在随机扰动下的总能量曲线

图16 临界割集支路在不同扰动下的支路暂态势能曲线

图17 短路叠加随机扰动时的系统能量图

图18 系统失稳时不同随机扰动下的SDSI指标值

表5 部分支路的SDSI指标

在负荷L3上设置5次ω恒定只改变Δp的随机扰动，系统稳定时临界割集支路2-1的支路暂态势能曲线如图16所示.

在负荷L8中施加ω=14，Δp=0.35的随机扰动时，计算系统的能量分布和支路SDSI.由表6可看出，支路2-1和支路8-9对应的SDSI指标值最小，因此系统的临界割集为{2-1，8-9}.

表6 部分支路的SDSI指标

由表6可知，在不同随机扰动在不同负荷时的系统临界割集不变，SDSI指标值的性质依然适用.系统稳定时，临界割集支路2-1的SDSI指标大于0，临界割集支路的暂态势能越大，所对应的SDSI指标值越小.因此，当ω不变，随着Δp的增加，临界割集支路的暂态势能增大，系统的稳定降低.

表7 部分支路的SDSI指标

扰动叠加短路故障时部分支路的SDSI指标如表7所示，从中可以看出如果同时叠加大的短路故障，临界割集不变，稳定裕度评估指标依然可以判断系统稳定性.本文取了50次系统受不同随机扰动下的SDSI指标值.由图18可看出，系统失稳时SDSI指标值均趋近于0，系统稳定时，指标值大于0.本文统计了这50次SDSI指标值，如图19所示，SDSI指标值分布在0.88附近，因此可以判断当SDSI指标值约等于0.88时系统稳定程度最低.

图19 SDSI指标值分布直方图

4 结 论

本文从网络能量函数角度分析含随机扰动的电力系统暂态稳定问题，通过随机Lyapunov稳定性方法来对系统随机稳定性展开研究与分析，或基于单机、多机算例来验证试验结果，通过模型仿真了解负荷随机性与系统暂态影响之间的具体关系.结论表明，提高随机扰动的率会对原有结构的电力系统产生不稳定的影响.

(1)提出了一种新的随机电力系统暂态稳定分析方案，基于随机微分函数的计算构建出计及随机扰动的电力系统模型.此外，通过负荷功率随机波动这一特定随机扰动来研究电力系统暂态稳定问题.

(2)受于确定性单机系统经典暂态问题的启发，构建了含随机扰动的能量函数.通过设置调整预想事故强相关的随机因子进行算例分析.确定了随机扰动下电力系统的暂态稳定量化评估指标，仿真算例结果表明了算法可行性和指标体系的适用性.

(3)算例结果表明负荷功率的随机波动在暂态过程中对电力系统暂态稳定性的影响不能忽略，当随机扰动较小时，负荷功率的随机波动对电力系统暂态稳定性的影响较小；当随机扰动同时叠加大的短路故障时，本文提出的暂态裕度评估指标仍然可以判断系统暂态稳定.