一个切换多涡卷混沌系统的研究及其电路仿真

周武杰,翁剑枫,周 扬

(1.浙江科技学院 信息与电子工程学院,杭州310023;2.宁波大学 信息科学与工程学院,浙江宁波 315211)

混沌在数学、信息科学及其他工程领域获得了国内外广泛的重视,成为了非线性学科的一个热点课题[1-3]。近20年来,国内外在这一领域的研究已经取得了许多重要的成果,并提出了能产生混沌与多涡卷混沌吸引子的多种方法[4-7]。可切换混沌系统具有更复杂的动力性行为,在混沌保密通信有着广泛的应用。文献[8]构建了一类可切换的三维自治混沌系统,文献[9]构建了一类关联且有多种切换方式的四维超混沌系统,Lü和Zheng分别提出了利用系统分段线性函数的切换[10-11],对系统实施反混沌控制;以上都是在单涡卷或双涡卷混沌系统中的切换,而在多涡卷混沌系统之间切换的相关报道较为罕见。

笔者在文献[12]提出的新混沌系统基础上,结合文献[8-11]的构建方法,提出了一个新的多涡卷混沌系统,对新的混沌系统进行了特性分析,并设计了一个实际可行的电路,通过开关选择器的切换,可以观察到2种多涡卷混沌吸引子。

1 系统构成与特性分析

1.1 切换多涡卷混沌系统的提出和计算机仿真

文献[12]提出的混沌系统为

其中α=4.2,β=6.7,γ=4.0,ε为控制参数,f(x)为分段非线性函数,当ε=13,f(x)=x-n取3时,可产生7涡卷混沌吸引子;当ε=12.5,f(x)=取4时,可产生8涡卷混沌吸引子。

在式(1)的基础上,利用系统分段非线性函数的切换方法,得到一个切换多涡卷混沌系统。该系统的数学表达式为

其中α=0.122,β=0.21,ε=0.2,γ为控制参数,f(z)为分段非线性函数,非线性函数可以为三角函数、锯齿函数、时滞函数,本文以锯齿函数为例进行分析。

为使式(2)产生奇数个多涡卷混沌吸引子,构造非线性函数 f(z)=f 1(z),其一般数学表达式为

当n=2,γ=1.65时,对式(2)和式(3)进行计算机仿真,得到5涡卷混沌吸引子如图1(a)所示。

为使式(2)产生偶数个多涡卷混沌吸引子,构造非线性函数 f(z)=f 2(z),其一般数学表达式为

当n=2,γ=1.65时,对式(2)和式(3)进行计算机仿真,得到6涡卷混沌吸引子如图1(b)所示。

图1 5涡卷和6涡卷混沌吸引子Fig.1 5-scroll and 6-scroll chaotic attractors

1.2 新系统动力学行为的分析

令式(2)˙x=˙y=˙z=0,得到系统的平衡点的方程为

式(7)中α=0.122,β=0.21,ε=0.2,γ=1.65,求得特征值为λ=-0.454 3或0.127 2±0.865 7i满足Shilnikov定理。

1.3 新系统的分岔图和Lyapunov指数

以5涡卷和6涡卷混度系统为例,对系统进行分析。随着参数γ的变化,系统从倍周期分岔进入混沌状态。因此,γ是生产多涡卷混沌吸引子的重要参数。一般参数的取值范围为γ=1.5～2.3。图2为新系统的分岔图和最大Lyapunov指数图。

图2 分岔图和李氏指数Fig.2 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent

2 电路的分析及设计

基于上述用切换非线性函数产生多涡卷混沌吸引子的工作原理。根据式(1)～(4),可设计多涡卷混沌吸引子的电路如图3～4所示。当开关K11打到2处,调节电阻参数可得式(1)混沌系统,当开关K11打到1处,调节电阻参数可得式(2)混沌系统。

根据式(3)和式(4)的有关参数,设计了锯齿函数序列的电路如图3所示。它由4部分构成:反向比较器、压缩器、反向器和反向加法器。由图3可得由锯齿函数序列所产生的总电流i3为

式(8)中S0,S-1,S1,S-2,S2为比较器的比较电压,为运算放大器的输出饱和电压值13.5 V,K 21,K22,K23为联动开关。当联动开关处于不同的状态,可以产生具有偶数个或奇数个涡卷的多涡卷混沌吸引子。

对式(1)和式(2)的状态方程进行电路整体的设计,整个电路由反相加法器、积分器和反相器三大模块构成,电路结构对称。令τ=t/(R0C0),其中1/R0C0为时间尺度变换因子,同时也是图4中积分器的积分常数。

3 仿真实验结果

图5 产生混沌吸引子的硬件仿真结果Fig.5 Hardware simulation results of causing chaotic attractors

根据图3～4所示的电路图和参数,采用美国国家仪器(NI)有限公司的Multisim电路仿真软件进行硬件仿真实验,硬件仿真结果如图5所示。

当开关K 22和K 23闭合,K 21打开,K 11打到1处,S-1=-1 V,S+1=+1 V,S-2=-3 V,S2=3 V,可产生5涡卷混沌吸引子,硬件仿真结果如图5(a)所示;当开关K 21、K 22、K 23闭合,K 11打到1处,S-1=-2 V,S+1=+2 V,S-2=-4 V,S2=4 V,可产生6涡卷混沌吸引子,见图5(b)。

4 结 语

通过非线性函数的切换,提出了一个新的多涡卷混沌吸引子的构造方法,该方法具有一定的普适性。计算机数值模拟和电路仿真实验结果,证实了这一方案的可行性。系统间切换方便,变化多样,是原来混沌系统的补充和扩展。系统各相平面的混沌吸引子差异较大,涡卷的个数可控,从而提高了对系统预测重构的难度,实现这类系统切换混沌同步和基于这类系统切换混沌同步的保密通信,具有广阔的应用前景和使用价值。

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