非平稳LNQD序列部分和的精确渐近性

沈建伟

(浙江科技学院 理学院,杭州 310023)

1 引言及引理

设{Xn,n≥1}是一随机变量序列设φ(x)和f(x)均为[1,+∞)上的正值函数。引起人们较大兴趣的研究方向是:当ε↘0时,形如的级数的收敛条件及其收敛速度。Heyde[1]首先对此进行了研究,他给出当EX2。该方向的研究被称为精确渐近性,许多学者对此作了大量深入的研究。Gut和Spǎtaru等在这方面作出了许多贡献[2-4]。Gut和Spǎtaru[2]给出了独立随机变量列的精确渐近性,Mi[5]给出了PA列的精确渐近性,Tan[6]给出了PA列生成线性过程的精确渐近性,赵月旭等[7]给出了强平稳ρ-混合序列的精确渐近性。上述文献给出的相依随机变量序列的精确渐近性的研究结果都带有平稳条件的限制,而许多实际问题中所出现的随机变量序列却大多都为非平稳的,所以解除平稳条件的束缚具有一定的理论与实际的意义。赵月旭[8]给出了非平稳NA序列部分和精确渐近性的一些结果。

由于LNQD序列比NA序列更弱,故本文给出的非平稳LNQD序列部分和精确渐近性的一些结果具有一定的意义。

定义1.1[9]称随机变量X和Y是NQD(negatively quadrant dependent)的,若对∀x,y∈R都有

2 主要结果

定理2.1 设{Xn,n≥1}为非平稳的LNQD随机变量序列,且EXk=0,EX2k＜∞,k∈N。且满足以下条件:

假设正值函数g(x)是[1,+∞)上具有一阶非负导数g′(x)的可导函数,满足以下条件:

又设

3 定理的证明

[1] HEYDE C C.A supplement to the strong law of large numbers[J].J Appl Probab,1975,12:173-175.

[2] GUT A,SPǍTARU A.Precise asymptoticsin the Baum-Katz and Davis law of large numbers[J].J Math Anal Appl,2000,248(1):233-246.

[3] GUT A,SPǍTARU A.Precise asymptotics in the law of the iterated logarithm[J].Ann Probab,2000,28(4):1870-1883.

[4] GUT A.Precise asymptotics for record times and the associated counting process[J].Stoch Proc Appl,2002,101(2):233-239.

[5] MI C J.Precise asymptotics in the Baum-Katz and Davis law of large numbers for positively associated sequences[J].Appl Math J Chinese Univ Ser B,2005,20(2):197-204.

[6] TAN X L,YANG X Y.A general result on precise asymptotics for linear processes of positively associated sequences[J].Appl Math J Chinese Univ Ser B,2008,23(2):190-196.

[7] 赵月旭,麻志浩,孙伟良.强平稳ρ-混合序列的精确渐近性[J].系统科学与数学,2008,28(7):822-832.

[8] 赵月旭.非平稳NA序列部分和的精确渐近性[J].数学学报,2007,50(3):539-546.

[9] LEHMANN E L.Some concepts of dependence[J].Ann M ath Statist,1966,37(5):1137-1153.

[10] ZHANG L X.A functional central limit theorem for asymptotically negatively dependent random fields[J].Acta Math Hungar,2000,86(3):237-259.