污染环境下具脉冲效应的随机捕食-食饵模型

姚娇娇，张树文

(集美大学理学院，福建厦门361021)

0 引言

随着人类的进步，由工业生产和其他人类活动所造成的环境污染问题变得日益严重，并受到人们的广泛关注.各污染物排放对生物的正常生存造成了很大的威胁.近年来，有许多学者对污染环境下的捕食-食饵系统进行了深入的研究［1-2］，并得到了许多的结论.这些研究大多采用的是确定性的模型，如模型

其中:x(t)表示t时刻食饵种群数量;y(t)表示t时刻捕食者种群数量;C0(t)表示该时刻生物个体体内的毒素的浓度;r0表示不存在毒素时食饵种群的内秉增长率;r1，r2表示生物增长对毒素的反应强度;d表示捕食者的死亡率.由于生物种群是生活在不断变化的环境中，阳光、温度、水分等对种群产生了微小影响，以及洪水、地震、海啸对种群产生了瞬间影响，环境的噪音也对种群产生一定的影响.所以，研究脉冲效应［3-4］和随机环境［5-6］的种群动力学行为，成为现代生物数学中的一个主要研究课题，而考虑脉冲与环境噪音同时对种群作用的成果不多.

对模型 (1)考虑食饵种群的内秉增长率r0和捕食者种群的死亡率d同时受到白噪声的干扰，即:a→a+αB1(t)，d→d+βB2(t)，其中:B1(t)，B2(t)是相互独立的布朗运动;α，β表示白噪声的强度. 本文中，(Ω，F，{Ft}t≥0，P)是具有滤子{Ft}t≥0的完备概率空间，Ft是右连续的，并且F0包括P-null集合.则得到脉冲输入毒素随机扰动的捕食-食饵模型:

其中:T为脉冲周期;p为脉冲大小，p＞0.假设模型中所有的参数均为正数.模型 (2)有两个子系统:

和

1 预备知识

引理1 子系统 (4)有一个周期解(t)=pe-h(t-nT)/(1-e-hT)，t∈(nT，(n+1)T］，且该周期解是渐近稳定的，即对任意解C0(t)都有

从引理1中可以得到:1)对任意ε＞0，存在T1＞0，当t＞T1时，有(t)-ε＜C0(t)＜(t)+ε;2)〈(t)〉=p/hT，t＞ 0.

引理2 对于任意的初值x0＞0，y0＞0，系统 (2)存在局部正解(x(t)，y(t)).

考虑下列非自治随机Logstic模型:

其中a(t)，b(t)，α(t)在［0，+∞)上连续有界函数，且a(t)＞0，b(t)＞0.

2 主要结果

定理1 系统 (2)有满足初始条件x0＞0，y0＞0的唯一正的全局解(x(t)，y(t))，且存在函数φ(t)，ψ(t)，Φ(t)，Ψ(t)，满足φ(t)≤x(t)≤Φ(t)，ψ(t)＜y(t)＜Ψ(t)a.s.t≥0.

的解，且由随机方程比较定理得:x(t)≤Φ(t)，a.s.t∈［0，+∞).根据引理2可知，对任意ε＞0，存在 T1＞0，当 t＞T1，有

定理2 系统 (2)满足任意正初始值的解(x(t)，y(t))具有如下性质:

定理3 对模型 (2)，种群x(t)满足:1)若r0-α2/2＜r1p/(hT)，则x(t)趋于灭绝;2)若r0-α2/2=r1p/(hT)，则x(t)是随机非平均持久的;3)若r0-α2/2＞r1p/(hT)，则x(t)是随机弱平均持久的.

证明1)对系统 (2)第一个方程使用Itô公式得到:d ln x(t)=［r0-α2/2-r1C0(t)-ax(t)-by(t)］dt+αdB1t，两边积分，得:

2)由式 (8)及式 (11)可以得到:［ln x(t)-ln x(0)］/t≤ r0-α2/2-r1〈(t)-ε〉-a〈x(t)〉+αdB1t. 由引理4有:因为ε是任意的，所以有:

由于r0-α2/2=r1p/(hT)和〈x〉*≥0，就得到〈x〉*=0.所以种群x(t)是随机非平均持久的.

定理4 对模型 (2)的捕食者种群y(t)，有如下结论:1)若Δ＜Kp/(hT)，则y(t)将趋于灭绝;2)若Δ＞Kp/(hT)，则y(t)是随机弱平均持久的.

当r0-α2/2-r1〈〉＜0时，由定理3的1)有〈x〉*=0.再由式 (13)可得:［ln y(t)/t］*＜即

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