广义几乎差集偶

时间：2024-08-31

林丽英，郑鹭亮，张胜元

(1.福建信息职业技术学院基础部，福建福州350007;2.福建医科大学基础医学院，福建福州350001;3.福建师范大学数学与计算机科学学院，福建福州350007)

0 引言

在雷达、声纳、码分多址等系统的信号设计中，往往要求信号具有良好的自相关性，这样的信号称为最佳信号.传统的信号设计使用单条序列，即发送端发送的信号序列与接收端中计算自相关函数所使用的本地序列是同一个信号序列.基于具有优的自相关性的的理想序列在雷达、声纳、码分多址等系统的信号设计中有着重要的应用，因此序列设计一直也是应用数学、编码理论领域学者所研究的热点.最佳二元序列是最理想的信号，但是最佳信号的存在空间非常有限.Wolfman于1992年在文献［1］中提出了几乎最佳二元序列的概念，在这种定义下序列数量大大增加，但是对于序列长度n还有比较多的限制，如要求n是4的倍数.之后，人们对此进行了大量的探讨:Pott等于1995年在文献［2］中建立了几乎最佳二元序列与一类特殊可分差集的等价关系，大大增加序列的存在空间;郑鹭亮等在文献［3］中改进了几乎差集的定义，并利用4阶分圆类构造广义几乎差集;赵晓群等在文献［4］中提出一类新的最佳信号——最佳二元序列偶，利用这种序列偶，可以在系统发送端选取序列偶中的一条序列作为传送信号，而用序列偶中的另一条序列作为接收端的本地序列，通过计算序列偶的自相关函数来达到提取信息的目的;最佳二元序列偶对应的组合结构为差集偶［5］，李建周等在文献［6］中提出新的区组设计——几乎差集偶，并证明了几乎差集偶与几乎最佳自相关二元序列偶的等价关系.但从现有的研究成果看，具有好的相关性的序列偶的存在性结果还不是很丰富.本文首先在广义几乎差集和差集偶基础上，提出广义几乎差集偶概念.其对应的序列偶是最佳二元序列偶的推广，然后利用2阶和4阶分圆类构造了一些广义几乎差集偶的类，这将为实际工程应用提供更大的信号序列选择范围.

1 广义几乎差集偶的概念

定义2［3］设ZN={0，1，…，N-1}为模N剩余类环，D为ZN的一个k元子集.设N为奇数，如果对(N-1)/2个非零元a∈ZN，同余方程x-y≡a∈(mod N)，x，y∈D×D恰有个λ1解，而对其余(N-1)/2个非零元该同余方程恰有λ2个解，则称D为一个(N，k，λ1，λ2)广义几乎差集.

结合定义1和定义2，给出定义3.

以下把 (N，k1，k2，l，λ1，λ2)广义几乎差集偶记为 (N，k1，k2，l，λ1，λ2)-GADSP.

例1 在 Z5中，U={1，2}，V={4}构成 (5，2，1，0，1，0)-GADSP.

当U=V时，广义几乎差集偶退化为广义几乎差集;当λ1=λ2时，广义几乎差集偶就退化为通常的差集偶.由于广义差集和差集偶都是广义差集偶的特殊情形，因此本文只对U≠V、λ1≠λ2的情况进行研究.

2 用分圆方法构造广义几乎差集偶

以下介绍有关分圆的一些基本概念［7］.

设N=ef+1是一个奇素数，此时ZN构成域.设θ是域ZN的一个本原元，D0=＜θe＞为由θe生成的的f阶乘法子群，则有以下陪集分解:其中Di= θiD0，0≤i≤e-1，称陪集Di为分圆类.

下面先考虑2阶分圆类能否构成广义几乎差集偶，先给出2阶分圆数.

1)当f为偶数时，这些分圆数关系由表1给出.其中A=f/2，B=(f-2)/2.

表12 阶分圆数关系表 (f为偶数)Tab.1 The relations of the cyclotomic numbers of order 2(f even)

表2 2阶分圆数关系表 (f为奇数)Tab.2 Relations of the cyclotomic numbers of order 2(f odd)

定理1 设奇素数N=2f+1，U=D0，V=D1，则:1)当f为偶数时，(U，V)(U，V)不构成任何形式下的广义几乎差集偶;2)当 f为奇数时，(U，V)构成 ZN上 (2f+1，f，f，0，(f+1)/2，(f-1)/2)-GADSP.

1)当f为偶数时，由表1可得Δ0=A=f/2，Δ1=A=f/2.由于Δ0=Δ1，(U，V)构成ZN上的一个差集偶.

2)当f为奇数时，由表2可得Δ0=B= ( f +1)/2，Δ1=A= ( f -1)/2.由于Δ0≠Δ1，根据定义3，取λ1=Δ0，λ2=Δ1，又因为λ1-λ2=Δ0-Δ1=B-A=1，从而(U，V)可构成ZN上的一个广义几乎差集偶，经过计算参数可知，(U，V)构成ZN上的(2f+1，f，f，0，(f+1)/2，(f-1)/2)-GADSP.

例2 令 f=3 ，U=D0={2，4，1}，V=D1={6，5，3}构成 (7，3，3，0，2，1)-GADSP.

用同样方法可以证明定理2.

定理2 设奇素数 N=2f+1 ，U=D0∪ D1，V=D0，则 (U，V)构成 ZN上的 (2f+1，2f，f，f，f，f-1)-GADSP.

例3 令 f=3 ，U=D0∪D1={2，4，1，6，5，3}，V=D0={2，4，1}构成 (7，6，3，3，3，2)-GADSP.

以下考虑利用4阶分圆类构造广义几乎差集偶，先给出4阶分圆数，这些分圆数由奇素数N=4f+1的分解式x2+4y2，x ≡1(mod 4)唯一决定［8］.

1)当f是偶数时，这些分圆数关系由表3给出，其中:A=(N-11-6x)/16;B=(N-3+2x+8y)/16;C=(N-3+2x)/16;D=(N-3+2x-8y)/16;E=(N+1-2x)/16.

2)当f是奇数时，这些分圆数关系由表4给出，其中:A=(N-7+2x)/16;B=(N+1+2x-8y)/16;C=(N+1-6x)/16;D=(N+1+2x+8y)/16;E=(N-3-2x)/16.

当e=4时，可以得出定理3.

表3 4阶分圆数关系表 (f为偶数)Tab.3 The relations of the cyclotomic numbers of order 4(f even)

表4 4阶分圆数关系表 (f为奇数)Tab.4 The relations of the cyclotomic numbers of order 4(f odd)

定理3 设奇素数N=4f+1=x2+4y2，x≡1(mod 4)，U=D0，V=D2，则:1)当f为偶数时，(U，V)构成 ZN上的 (4f+1，f，f，0，(f+2h)/4，(f-2h)/4)-GADSP ，当且仅当 h=( x -1)/4且x≠1;2)当f为奇数时，(U，V)不构成任何形式下的广义几乎差集偶.

1)当f为偶数时，由表3可得:Δ0=C=(N-3+2x)/16;Δ1=E=(N+1-2x)/16;Δ2=C=(N-3+2x)/16;Δ3=E=(N+1-2x)/16.

显然Δ0=Δ2，Δ1=Δ3.当x=1时，Δ0=Δ3，(U，V)就可构成ZN上的一个差集偶.当x≠1时，Δ0≠Δ3，(U，V)就可构成ZN上的一个广义几乎差集偶.根据定义3，取λ1=Δ0，λ2=Δ1，由于λ1-λ2=Δ0-Δ1=C-E=(x-1)/4，令h=(x-1)/4.经过计算参数可知，(U，V)构成ZN上的一个 (4f+1，f，f，0，(f+2h)/4，(f-2h)/4)-GADSP.

综上所得，当 f为偶数时，(U，V)构成 ZN上的 (4f+1，f，f，0，(f+2h)/4，(f-2h)/4)-GADSP 当且仅当h=(x-1)/4且x≠1.

2)当f为奇数时，由表4可得:Δ0=C=(N+1-6x)/16;Δ1=D=(N+1+2x+8y)/16;Δ2=A=(N-7+2x)/16;Δ3=B=(N+1+2x-8y)/16.下面分3种情形讨论.

情形1.当Δ0=Δ1，Δ2=Δ3时，可得x=-1，y=1，与x≡1(mod 4)矛盾.

情形2.当Δ0=Δ2，Δ1=Δ3时，可得y=0，与N=4f+1=x2+4y2是奇素数矛盾.

情形3.当Δ0=Δ3，Δ1=Δ2时，可得x=-1，y=-1，与x≡1(mod 4)矛盾.

综上所述，当f为奇数时，(U，V)不构成ZN上任何形式的广义几乎差集偶.

例4 令f=10，x=5，y=2时，U=D0={±18，±4，±10，±16，±1}，V=D2={±20，±9，± 2，± 5，± 8}构成 (41，10，10，0，3，2)-GADSP.

利用4阶分圆类还可以构造更多的广义几乎差集偶，以下列出这些广义几乎差集偶，并略去计算过程.

定理4 设奇素数N=4f+1=x2+4y2，x≡1(mod 4)，U=D0∪D2，V=D1，则:1)当f为偶数时，(U，V)构成 ZN上的 (4f+1，2f，f，0，(f+h)/2，(f-h)/2)-GADSP 当且仅当 y=(x-1)/2，h=y或 y=(1-x)/2，h=y;2)当 f为奇数时，(U，V)构成 ZN上的 (4f+1，2f，f，0，(f+h)/2，(f-h)/2)-GADSP当且仅当y=(1+x)/2，h=-y或 y=(-1-x)/2，h=-y.

例5 令f=10，x=5，y=2时，U=D0∪D2={±18，±4，±10，±16，±1，±20，±9，±2，± 5，± 8}，V=D1={± 3，± 13，± 12，± 11，± 7}构成 (41，20，10，0，6，4)-GADSP.

例6 令 f=3 ，x=-3，y=1 时，U=D0∪D2={3，9，1，12，10，4}，V=D1={6，5，2}构成 (13，6，3，0，2，1)-GADSP

定理5 设奇素数N=4f+1=x2+4y2，x≡1(mod 4)，U=D0∪D2，V=D3，则:1)当f为偶数时，(U，V)构成 ZN上的 (4f+1，2f，f，0，(f+h)/2，(f-h)/2)-GADSP 当且仅当 y=(x-1)/2，h=-y 或 y=(1-x)/2，h=-y;2)当 f为奇数时，(U，V)构成 ZN上的 (4f+1，2f，f，0，(f+h)/2，(f-h)/2)-GADSP当且仅当y=(1+x)/2，h=y或 y=(-1-x)/2，h=y.

定理6 设奇素数N=4f+1=x2+4y2，x≡1(mod 4)，U=D0∪D3，V=D1∪D2，则:1)当 f为偶数时，(U，V)构成 ZN上的 (4f+1，2f，2f，0，(2f+h)/2，(2f-h)/2)-GADSP 当且仅当 h=y;2)当f为奇数时，(U，V)不构成任何形式的广义几乎差集偶.

例7 令f=4，x=1，y=2时，U=D0∪D3={±1，±4，±6，±7}，V=D1∪D2={±3，± 5，± 2，± 8}构成 (17，8，8，0，5，3)-GADSP

定理7 设奇素数N=4f+1=x2+4y2，x≡1(mod 4)，U=D0∪D1∪D2，V=D0∪D2∪D3，则:1)当 f为偶数时，(U，V)构成 ZN上的 (4f+1，3f，3f，2f，(9f-2+2h)/4，(9f-2-2h)/4)-GADSP当且仅当h=(-3-x)/4，x≠-3;2)当f为奇数时，(U，V)不构成任何形式的广义几乎差集偶.

例8 令f=4，且x=1，y=2时，U=D0∪D1∪D2={±1，±4，±3，±5，±2，±8}，V=D0∪ D1∪ D3={± 1，± 4，± 3，± 5，± 6，±7}构成 (17，12，12，8，8，9)-GADSP.