各向异性的非径向DEA模型

龚曲华，李智勇

(1．福建江夏学院电子信息科学系，福建 福州350108;2．集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

数据包络分析 (Data Envelopment Analysis，简称DEA)是以相对效率概念为基础，以数学规划为主要工具，根据多指标投入和多指标产出数据，对相同类型的单位 (部门或企业)进行相对有效性或效益评价的一种新的方法．该方法通过建立规划模型达到对决策单元进行评价的目的，本质上是判断决策单元是否位于生产前沿面上，它的主要优点是可以对多个投入特别是多个产出的问题进行评价[1]．数据包络分析最主要的两个任务是:1)判定决策单元是否是DEA有效;2)对于非DEA有效的决策单元，给出改善方案，使之成为DEA有效．对于非DEA有效的DMU，目前普遍的改善办法是:以非DEA有效的DMU在生产前沿面上的投影作为改善后的DMU[2]．DEA已广泛应用于各个领域，如物流企业生产分析[3]、证券投资基金管理[4]等．

一般而言，DEA模型一旦选定，相应的投影策略也随之确定．DEA模型包括两大类:径向DEA模型 (radial model)和非径向DEA模型 (non-radial model)．径向DEA模型包括输入型DEA模型和输出型DEA模型，常见的模型有:输入型 (输出型)CCR模型，输入型 (输出型)BCC模型，输入型 (输出型)FG模型和输入型 (输出型)ST模型．它们所对应的投影策略存在一个共同的特点:或者同步缩小输入指标值，或者同步放大输出指标值，称为各向同性．因此，必须借助其他的辅助模型才能知道是哪一个指标导致了DMU的非DEA有效，这在现实中是不合理的，因为各个输入输出指标的角色并不完全一样．于是研究者开始关注非径向DEA模型，相继出现了加权的非径向DEA模型和Russell模型等．这些非径向DEA模型，或者难于解释，或者难于求解．以Russell模型为例，它兼具理论和应用双重价值，并成功克服了径向DEA模型的上述缺点．该模型存在已久，于1978年由Fare和Lovell[5]共同提出．但是，因为该模型是一个非线性规划模型，难于求解，所以尽管生产经济学已经证明它比一般的模型更合理，但该模型还是长期受到研究者的冷遇．直到2006年，Sueyoshi等人[6]指出该模型等价于一个二次锥规划模型 (second-order cone programming)，才给出了该模型的一个比较合理的求解方法．尽管如此，实际工作者还是不喜欢该模型，因为它需要引入太多的辅助变量才能说明其等价性，太多的辅助变量也增加了问题的求解规模．因此，一个好的DEA模型起码应具备2点:1)模型有意义且易求解;2)模型易解释且对实际问题有指导作用．基于上述目标，并结合径向型DEA模型易于求解的优点，本文提出一种新的非径向型DEA模型．

1 数据包络分析

早在1951年，Koopmans[7]就提出了有效性度量的概念．之后，各种单输入单输出的有效性度量方法相继被提出．1957年，Farrell[8]考虑了多输入多输出的有效性度量方法，同时还提出了经典的双输入单输出的有效性度量方法．1978年，著名的运筹学家Charnes等人从数学规划角度将有效性度量推广到多输入多输出的情形，提出了第一个数据包络分析模型——CCR模型[9]，开启了DEA研究的先河．之后，相继出现了比较有代表性的BCC模型、FG模型和ST模型．1996年，Yu等人给出了CCR模型、BCC模型、FG模型和ST模型的统一形式的综合模型[10]．

假设有n个决策单元{DMUi}ni=1，每个DMU有m个输入和s个输出，DMUi的输入向量和输出向量分别为 Xi=(x1i，x2i，…，xmi)T，Yi=(y1i，y2i，…，ysi)T，i=1，2，…，n ．综合模型形式如下[2]:

生产可能集 (Production Possibility Set)是DEA领域的一个关键概念，定义为:其中投入X，可产出Y}．它的形式是由不同的公理体系唯一确定的．在实际应用中，往往根据特定的经济环境和经济特性，以及用生产可能集去刻画的具体事物和用来表述的特征的不同，采取各种关于生产可能集的公理体系，唯一形式地确定出生产可能集的结构 (数学的表示形式)．数理经济学的一个重要的研究方法就是:利用公理体系，经过数学推理和证明，确定出经济系统的结构．式 (1)所对应的生产可能集为:

定理1[2]式 (1)对偶规划为:

当δ1=0时，式 (1)即为CCR模型，

1，δ2=0时，式 (1)即为BCC模型0};当δ1=δ2=1，δ3=0时，式 (1)即为FG模型当δ1=δ2=δ3=1时，式 (1)即为ST模型

为了定义DEA有效性，介绍如下两个规划:其中:1s=(1，…，1)T∈ Rs，1m=(1，…，1)T∈ Rm，F(X，Y)=(X1，…，Xm，-Y1，…，-Ys)T．

定义1(DEA有效) 称DMU(Xk，Yk)是DEA有效，如果它是式 (4)的Pareto解，即不存在(X，Y)∈ TDEA，使得 F(X，Y)≤ F(Xk，Yk)，F(X，Y)≠ F(Xk，Yk)．

注:也有些文献[11]是通过相对有效值和松弛变量定义DEA有效性，然后证明DEA有效与Pareto解是等价的．两种定义方法异曲同工．

定理2[11]以下论述等价:1)DMU(X，Y)是 DEA有效;2)式 (2)的最优值等于1且式

(3)的最优值等于0．

注:若式 (2)的最优值等于1但式 (3)的最优值大于0，则称之为弱DEA有效．

定义2(投影)设˜θ*是式(2)的最优值，(¯s*，^s*)是式(3)的最优解．令则称为DMUk在生产可能集TDEA的生产前沿面上的投影．

定理3[2](投影定理) 设如上述定义，则是DEA有效．

可以用图1来说明上述基于“投影”的非DEA有效的DMU改善过程．实际上改善过程包含两个部分:其一，各个输入指标同步缩小，直至位于生产前沿面上 (即弱DEA有效);其二，去除一些多余的输入，使之成为Pareto解，即DEA有效．决策单元A(E)的改善过程是:A⇒B⇒C，E⇒F．这样的改善过程有两个不足:1)只能改变输入指标值，不能改变输出指标值;2)输入指标需首先同步缩小．上述介绍的是输入型DEA模型，同样结论与推导过程可以用于输出型的DEA模型．

图1 决策单元投影图（单位输出）Fig.1 Decision making unit projection

2 各向异性的DEA模型

定义2中基于投影的决策单元的改善策略具有同步缩小输入指标 (称为各向同性)的特点，这在实际应用中是不合理的，每个输入输出指标的权重是不一样的．自然地，对各个输入指标的调整也不能等同看待．因此，本节旨在建立一个能体现各输入指标权重的各向异性的一个新的DEA模型．

定义3(Hadmard乘积算子) 设x=(x1，…，xn)T∈Rn，y=(y1，…，yn)T∈Rn，称(x1y1，…，xnyn)T为x，y的Harmard乘积，记为x◦y．

考虑如下互为对偶的DEA模型

其中，a〉0(b〉0)∈Rm(Rs)是任意常向量，δ1，δ2是取值于{-1，0，1}的常数．

也可以将式 (6)写成如下的简便形式

定理4 式 (5)和式 (6)互为对偶．

证明 直接利用线性规划的对偶定理即知．

定义如下的多目标规划:

其中，F(X，Y)=(X1，…，Xm，-Y1，…，-Ys)T．

定理5 设a〉0(b〉0)∈Rm(Rs)是任意给定的常向量，δ1，δ2是取值于(-1，0，1)的常数，且所有的输入输出都是正值，则以下论断等价:1)式 (5)的最优值等于0;2)式 (6)的最优值等于0;3)(1Ts，1Tm)T是式 (6)的一个最优解;4)(Xk，Yk)是式 (8)的Pareto解．

证明 1)⇔2)易知，式 (5)有可行解:w=0;μ=0;μ0=0，式 (6)有可行解:θ=(θ1，…，θk，…，θm)=(1，…，1，…，1)，φ =(φ1，…，φk，…，φs)=(1，…，1，…，1)，λ =(λ1，…，λk，…，λn)=(0，…，1，…，0)，ξ=0．故式 (5)和式 (6)均有可行解，从而由线性规划理论可知，式 (5)和式(6)有相同的最优值．

2)⇔3)很显然．

3)⇒4)．设式(6)的最优值等于0，如果(Xk，Yk)不是式(8)的Pareto解，那么存在使得令(θ，φ 不会均为恒一向量)，从而与假设矛盾．

3)⇐4)．设(Xk，Yk)是式 (8)的一个Pareto解．若存在式 (6)的最优解(θ*，φ*)，使得则0≤θ*≤1m，φ*≥1s(θ*，φ*不会均为恒一向量)，从而(θ*◦Xk，-φ*◦Yk)≤(xk-yk)，(θ*◦Xk，φ*◦Yk)≠ (Xk，Yk)，与假设矛盾．

定义5(投影) 设(θ*，φ*)是式 (7)的最优解．令则称为DMUk在生产可能集的生产前沿面上的投影．

证明 若(θ*，φ*)是式 (6)的一个最优解则(1T，1T)T是ms的一个最优解，由定理5即知．

易知，基于定义5非有效DMU的改善策略，没有把所有的输入指标 (输出指标)看成同等重要．它的改善依据是，哪个指标导致了DMU的非有效，就改善该指标，这是比较科学的方法．

可知:1)当δ1=0，δ2=0时，式 (5)即为式 (9)，式 (6)即为式 (10)，即为TCCR;2)当δ1=1，δ2=0时，式 (5)即为式 (11)，式 (10)即为式 (12)，即为 TBCC;3)当 δ1= －1，δ2=1时，式 (5)即为式 (11)，式 (6)即为式 (14)，即为TFG;4)当δ1=1，δ2=1时，式(5)即为式 (15)，式 (6)即为式 (16)，即为 TST．

由投影定理很容易得到下面的两个推论．

推论11)式 (9)和式 (10)互为对偶;2)式 (11)和式 (12)互为对偶;3)式 (13)和式 (14)互为对偶;式 (15)和式 (16)互为对偶．

3 例子分析

现以文献[11]所提供的双输入单输出的DMU为例，分别应用式 (10)模型和非阿基米德无穷小CCR模型，分析计算结果．其中，非阿基米德无穷小CCR模型指的是:

其中ε是非阿基米德无穷小 (即小于任何正数且大于0的数)．

例1 考虑具有6个DMC的模型，输入和输出数据如下:

例1的正确结果是:DMU3、DMU4和DMU5是CCR有效的，DMU1和DMU2是非CCR有效的，而DMU6是弱CCR有效的．此处的“非CCR有效的DMU”指的是:对应的CCR有效值小于1的DMU，“弱CCR有效的DMU”指的是:对应的CCR有效值等于1的DMU，但不是CCR有效的DMU，“CCR有效的DMU”同定义1．

运用非阿基米德无穷小CCR模型式 (17)，不同的参数得到的CCR有效的决策单元却不一样．记为DMUi所对应的式(17)的最优解．考虑以下两种参数的选择:1)ε=10－5，经计算可知故DMU3、DMU4、DMU5和DMU6是CCR有效的，DMU1和DMU2是非CCR有效的;2)ε=10－9，经计算可知故DMU3，DMU4和DMU5是CCR有效的，DMU1和DMU2是非CCR有效的，而DMU6是弱CCR有效的．不同的参数得到的结果不尽一样，现实中，无从知晓ε到底该取多小，太大担心结果不精确，太小又担心影响计算精度．

再考虑式 (10)模型．记(θ*，φ*)是式 (10)的一个最优解，取a=(1，…，1)∈Rm，b=(1，…，1)∈ Rn，计算结果如下:故DMU3、DMU4和DMU5是CCR有效的，DMU1和DMU2是非CCR有效的，而DMU6是弱CCR有效的，与真实结果一致．并且可验证，依据定义5得到的改进的DMU的确变为CCR有效的．

4 结论

与传统的模型相比较，新模型有如下几个优点:1)全面解决了DEA有效性的判定问题;2)在改善非DEA有效的DMU方面更合理、更科学;3)涵盖TCCR、TBCC、TFG和TST4种生产可能集，是一种综合性的DEA模型，同时它无需区分是输入型DEA模型还是输出型DEA模型;4)为“带偏好锥”的DEA模型研究提供了新的思路．

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