对称定常微流边界层

黄志圣，叶 霞，詹华税

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

考虑如下对称定常微流边界层方程

尽管本文的方法是类似于Oleinik的方法，然而，v(y)是y的函数，这使得相应的转换和计算变得更加复杂，一些限制条件作用在v(y)上使其仍然能够应用Oleinik的线性化方法．此外，如果允许v(y)或其导数是一个无界函数，则不能应用Oleinik的线性化方法，在这种情况下，得到同样的结果看起来非常困难．近年来关于定常Prandtl系统全局解的存在性方面重要的研究进展可参考文献 [5-8]，其他相关工作，可以参考文献 [9]．

本文的目的是研究系统 (1)— (2)解的适定性问题．为此引入Crocco变换ξ=x，η=u(x，y)/U(x)，w(ξ，η)=uy(t，y)/U(x)．经过简单的计算，可得如下w(ξ，η)的方程和边界条件:

与文献 [1]相比，方程 (3)增加了非线性项2vηw2wη+vηηw3，边界条件 (4)增加了非线性项vηw2．在本文的讨论中，要利用Oleinik线性化的方法，讨论问题 (1)— (2)解的适定性问题．为此，必须增加以下限制性条件:是有界的，vη≤0，vηη=0．则方程 (3)变为:

定义1称函数u(x)，v(x)为问题(1)的解，如果u在内连续，v在D内连续并且在¯D内关于y连续，u，v的导数在D内连续;方程 (1)对u，v在D内成立，并满足条件 (2)．

定义2称函数w(ξ，η)为问题(4)—(5)的解，如果:w(ξ，η)在内连续，并且在Ω内有连续偏导数wξ，wη，wηη，其中wηη关于η在η=0处连续;方程 (5)对w(ξ，η)在Ω内成立，并且满足条件 (4)．

对任意的函数 f(η，ξ)，引进如下的记号 fk=fk(η)=f(kh，η)，h 〉 0 且为常数，k=0，1，2，…，[X/h]．代替方程 (5)和边界条件 (4)，将考察下面的常微分方程组:

其中，当k=0时，μk=0;当k≥0时，μk是足够大的常数，并且U(x)、r(x)是二阶连续导数，v0x(x)有界．在以下的论述中，约定Mi，μ，δ为不依赖于h的正常数．

1 重要引理

引理1 设wk(η)是常微分方程组 (6)的解，当0≤η≤1时，wk(η)是连续的;当0≤η〈1时，wk(η)是无穷可微的，vη≤0．wk(η)满足下面的估计:

这里，kh≤X，h≤h0，h〉0为常数．

证明 通过构造如下的系统 (8)的解，取ε→0的极限来获得方程组 (6)的解．

假设方程组 (8)有一个解是wk．满足当η=0时，wk为正．令Vk=M3(1-η)e-αkh，α〉0为常数，发现，因为Ukx〉0，0〈h'〈h，并且所以，当η〈1足够大，M3足够小时，由假设 vη≤0，有:如果M3足够小，vη≤0，则令yk=Vk-wk，有:当η〈1时，Lε，k(V)-Lε，k(w)〉 0;当 η =0 时，λε，k(V)- λε，k(w)〉 0 ．

由以上不等式可以推出 yk≤0．事实上，考虑 Sk=yke-βkh．当 η〈1，∃h″，0〈h″〈h时，由Lε，k(V)-Lε，k(w)〉 0 ，λε，k(V)- λε，k(w)〉 0 ，有

因为Ux〉0，当η=0时，wk，Vk为正的．由最大值原理，从式 (9)可得Sk≤0．具体来说，Sk在[0，1]的内部取不到正的最大，因为当β〉0足够大、h足够小和M3足够小时，有:这和式 (9)矛盾．在η=0这点，因为Skη(0)≤0和式 (10)相互矛盾，所以Sk也不可能有正极大值．因此，有Sk≤0，yk=Vk-wk≤0．由此可得，当 kh≤X时，有wk(η)≥ M3(1- η)e-αkh．

选择任意一个正常数 M4，有下列不等式成立:2/M4．假设ψ(w)是(-∞，+∞)上的充分光滑函数，使其满足当w≥M4时，ψ(w)=w;当w≤M4/4时，ψ(w)=M4/2;当M4/4≤w≤M4时，0≤ψ'(w)≤1．

考虑由方程组 (8)及以下的边界条件 (11)组成的系统

当ε〉0时，方程 (8)和条件 (11)解的存在性的证明由Leray-Schander定理的证明方法给出．

Leray-Schauder定理 在Banach空间X中，考虑一族映射y=T(x，k)，这里x，y∈X;k是实参数，a≤k≤b．设:1)T(x，k)定义在x∈X，a≤k≤b;2)对任意固定的k，T(x，k)在X上连续，即∀ε〉0，x0∈X，∃δ〉0，如果在X上的有界子集关于k一致连续，即∀ε〉0和任意有界集合X0⊂X，∃δ〉0，当时，有是紧集;5)对x-T(x，k)=0的任意解x，有在X内有唯一解．

现在，做方程 (6)解的存在性证明．考虑下面含参量γ的微分方程系统:

边界条件

当γ=0时，问题 (12)— (13)为线性的;当γ=1时，则该问题转化为方程 (8)和边界条件(11)的问题．

对于这个系统，证明Leray-Schauder定理．考虑T(θ，γ)=w，它把C2([0，1])中的任意矢量函数θ映射到w≡(w1，…，wm)，m=[X/m]，其中w是下面的线性微分方程系统的解:

边界条件

当γ=0时，问题 (14)— (15)有唯一的解．因为该问题是线性的，当h足够小时，在问题(14)中wk的系数是非正的，并且φ(x)≤0，Ukx〉0．

非线性问题 (12)— (13)的解wk关于γ一致有界，并且它的二阶导数也是一致有界的．首先，对wk做下界的估计．令 V0=M5(1-η)e-αkh．当 M5足够小时，可得因为M5与γ，h，ε无关．当0〈η≤1时，V0代入式 (14)，则式 (14)的等式左边大于零．因此，对于yk=Vk0-wk，可得，当γ，kh≤X，0≤η≤1，0〈ε≤1时，有yk≤0，wk≥Vk0．

下面对问题(12)—(13)的解wk做上界的估计．为此把它转化为另一个未知函数的形式wk=(M6-eβη)eκkh¯wk，其中κ，β是正常数．选择适当大的M6，β，κ，可以得到以下的方程其中〉0，以及边界条件

由式 (12)中关于wkη的一阶方程和边界条件 (13)中在η=0点wkη的估计得到wkη关于γ的一致估计．由相同的方法，可以得出问题 (14)— (15)的解wk(η)和它到三阶导数关于γ的一致估计．在这些估计中的常数依赖于算子 T(θ，η)是 由在 C2([0，1])中函数θ的有界集映射到w的紧集．因此，在C2([0，1])中关于方程 (8)— (11)的问题在ε〉0时解的存在性，即Leray-Schauder定理的结论．

前面已经证明了问题 (8)的解wk(η)的下界关于 ε，h的一致估计，即，wk(η)≥ M3(1-η)e-αkh．下面，证明其解的上界的一致估计，即其中，M8，μ是正常数且与ε，h无关．取μ〈1并且当0≤η〈1时，σ〉1．当0≤η≤1，M8足够大时，可以得到Lε，k(V1)〈0．

另外，对于μ〈e-1/2，如果M8足够大，υη≤0，则可以得到λε，k(V1)〈0．由上面的不等式可以得到 Lε，k(V1)-Lε，k(w)〈 0 ，λε，k(V1)- λε，k(w)〈 0 ．当0 〈 η 〈1，0≤kh≤X 时，设 Sk=Vk1-wk满足不等式:因为，当η 〈1时，所以当0〈η〈1，kh≤X，h足够小时，由以上的不等式容易推出Sk≥0，Vk1≥wk．

当η=0时，由方程组 (8)结合wk两边的估计，可以得到在0≤η≤1-δ上，wkη，wkηη关于 ε 的一致估计成立．对方程 (8)关于η微分，可以证明wk的导数到给定的阶数在0≤η≤1-δ上关于ε一致有界．因此，问题 (8)的一族解wk依赖于ε，0〈ε≤1，可以抽取一个序列wk，例如wk和它们任意给定阶数的导数，当ε→0时，其在0≤η≤1-δ上一致收敛．因为V≤wk≤V1，则这个有限函数在0≤η≤1-δ上连续;当η〈1时，有限函数满足方程组 (6);当η=1时，它不存在．显然，有限函数wk对于式 (7)的估计式成立．存在性证毕．

对方程(8)—(11)系统的任意解˜wk，下证˜wk≥Vk．令˜yk=Vk-˜wk，选择适当小的M3，有当η〈1时，有

为了得到wk(η)有更好的估计，下面证明引理2．

引理2 设wk(η)是问题 (6)的解，有下列的估计成立:当0≤η≤1，0≤kh≤X时，

当0≤η≤1时，

当1-δ≤η≤1时，

证明 首先，建立估计式 (18)．令Φk=M12(1-η)σe-αkh，则当α〉0足够大，M12足够小和μ〈e-1/2，有其中另外，如果 M12足够小，则当0≤η〈1，kh≤X时，设 Sk=Φk-wk，因为 Lk(Φk)-Lk(wk)〉0，λk(Φk)-λk(wk)〉0，则有不等式:

当β〉0为常数并且其足够大时，把式(21)、式(22)转化为新函数由以上类似的证明可以看出，上面的不等式中不可能取正值．因此，Sk=Φk-wk≤0，式(18)估计成立．用相似的方法证明式 (19)．令 φ =K0(1- η)σ ，则 L0(φ)= υK20(1- η)2σ2[-K0/(2σ(1- η))-K0/(4σ3(1- η))]-(1- η)(1+ η)Ux(0)K0(- σ +1/(2σ))+2υηK30(1- η)2σ2(- σ +1/(2σ))．因为υK20=4Ux(0)，υη≤0，所以当0≤η〈1时，L0(φ)〈0．另外，如果σ(0)足够大，即σ(0)〉M11，其中M11的取值只与问题 (4)— (5)的数值有关，可得当0≤η〈1时，函数S=φ-w0满足不等式因为φη〈0，φηη〈0和S(1)=0，υη≤0，所以S的系数不可能为正．可以推出当0≤η≤1时，S≥0．因此，不等式 (19)成立．

显然，如果M10〉0且适当大，M10〈σ，而且1-M10/σ≥d〉0，则L0(Q)〉0．取δ〉0，有1-M10/(σ(1-δ))=d．则当1-δ≤η〈1时，1-M10/σ≥d，M10〈σ．由此可得，当1-δ≤η〈1时，L0(Q)〉0，并且根据式 (20)和所选择的d，有并且Q(1)=w0(1)=0．对于S=Q-w0，当1-δ≤η〈1时，得 υ(w0)2Sηη+A0Sη+Qηηυ(w0+Q)S+2υη(w0)2Sη+2υηQη(w0+Q)S 〉 0 ，S(1- δ)≤0 ，S(1)=0．

因为Qηη〈0，当M10适当大时，Qη〉0．由这些不等式可以推出S≤0，Q≤w0．因此不等式 (20)成立．

引理3 当k=0时，设w0是问题 (6)的解，则它的导数w0η满足估计:当0≤η〈1时，-M13σ≤w0η≤M14．

证明 由引理1和引理2，可以得到:

令Hk=wk-M2(1-η)σ≤0．当η≤1时，Hk≤0，Hk(1)=0;并且当η〈1时，Hk(η)是可微的．因此，当n→∞，ηkn→1时，Hkη(ηkn)≥0．由此可得

如果考虑 M9(1-η)σ -wk，当 n→∞，˜ηkn→1时，有

当0≤η〈1时，函数z0≡w0η满足方程

对w0η做下界的估计．令θ=-M20σ-M21，M20，M21=const〉0．然后，应用式 (19)，如果M21足够大，当0≤η 〈1时，由假设 υη≤0，有L0(θ)≥-(1-η)2(U2x+2υηK20)M20σ +M21[(1- η)(1+η)U0x-2υηK20(1-η)2]〉0．因此，当0≤η〈1时，有L0(θ-z0)〉0．如果M20〉M15，则在η=η0n上θ-z0〈0．因此容易得，当0≤η〈1时，有θ-z0〈0．则当0≤η〈1时，有w0η=z0≥θ=-M20σ-M21≥-M13σ ．

证明 不等式 (27)— (28)用归纳法证明．当k=0时，式 (27)已经在上面的引理中证明过．下面要证明如果kh≤X1，当k-1对于所选择的常数M22、M23、M24成立时，则k也成立．令wkη=zk，h-1(wk-wk-1)=rk，做出zk，rk，k≥1的方程．对方程 (6)关于η求导，得

在η=0对于方程 (6)的边界条件，有

而后，把方程 (6)中wk减去wk-1的差除以h，得:)

类似地，从方程 (6)的边界条件可以得到

考虑函数φk±rk=qk±，当0≤η〈1时，如果kh≤x1，有:

如果kh≤x2，还可以得到

因为在式 (34)中，当kh≤x1时，qk±的系数是非正的，由式 (34)— (35)可得，当0≤η≤1时，qk±≥0;并且kh≤min(x1，x2)=x3，则有

在式(28)中令M27等于M28．因为有归纳假设qk±-1≥0，所以式(34)成立．

下面对zk做估计．令F=-M29σ，计算Pk(F)．由wk的估计式 (18)和式 (7)，如果M29适当大，当 kh≤x3时，有:选择的M29与k，h无关，当η=ηkn时，Fk-zk≤0;当η=0时，Fk-zk≤0，其中ηkn对于不等式 (24)成立．

当0≤η〈1时，对于差分Fk-zk=Sk，有不等式

并且有:在式 (37)中Sk的系数等于Bk+Akη+2υηwkFkη+4υη(Fk+zk)．显然，如果M29足够大，则其系数是负的．用上面的形式取M22等于M29，则Sk-1≤0．因为在式 (37)— (38)中Sk不可能取正值，所取Sk≤0．当kh≤x3时，有wkη=zk≥-M22σ，其中M22依赖于问题 (4)— (5)的数值．可以假设M22≥M13．

下面，对zk做上界的估计．令Ψ=-M30e-αη，如果kh≤x4≤x3，当M30足够小，α足够大时，不妨设x4足够小，所以可以推出 Bkη=-Uk，设 wk-rk〈0，由以上的假设，有 Pk(Ψ)(α 〉0):如果 M30足够小，kh≤x5，x5=const〉 0，可得当0≤η 〈1时，对于 Sk1=Ψk-zk，有不等式:

为了证明 Sk1≥0，做新函数 Sk2=Sk1e-βkh，易得如果β〉0足够大，则当M30足够小时，S2k的系数在第一个不等式中是正的．因为如果设S02≥0，当0≤η≤1，kh≤x6时，其中x6=min(x4，x5)，则S2k不可能取负值．因此，当kh≤x6时，有S2k≥0，zk≤-M30e-αη．

在η=1这点附近，可以做进一步的估计．令F1=-M31σ并且计算Pk(F1)．如果kh≤x7，0〈1-η 〈δ1，M31和 δ1足够小时，不妨设 wk-rk〈0，有:Pk1(F)=- υ(wk)2M31[1/(2σ(1- η)2)-1/(4σ3(1- η)2)]+M31(1- η2)Ukx/(2σ(1- η))-BkM31σ +2υwkM231/(2(1- η))-2ηUxM31σ +Bkηwk-Ukrk- υη(wk)2M31/(σ(1- η))+4υηwkM231σ2≤M31[σ(- υM29/2-Bk+ υM2M31-2ηUxM31σ - υη(1-η)M29+4υηwkM31σ)+(υM29/(4σ)+(1+ η)Ukx/(2σ))]+Bkηwk-Ukrk〈 0 ．其中为常数．

考虑差分Sk=Fk1-zk．当1-δ1≤η〈1，kh≤x7时，函数Sk满足不等式

如果M31适当小，由式 (25)和zk≤M30e-αη，当kh≤x6时，有

因此，选择的M31只由问题 (4)— (5)的数值决定．令M23=min{M31，M30e-α(ln(μδ1))-1/2}．设M23〈M14，则Sk-1≥0．由式(39)、式(40)可得Sk≥0．当k≥1时，代入新函数¯Sk=Ske-βkh，可得:如果 β(h)〉 0 足够大由此可得，当1-δ1≤η 〈1时，有

不等式 (29)由式 (27)、(28)得来．由方程 (6)可得 υwkwkηη=(ηUk+ μkh)rk/wk-Akzk/wk-Bk-2υηwkzk．因为Bk≤N3kh，当kh足够小时，有:

2 解的存在唯一性

证明 当kh〈ξ≤(k+1)时，把wk(η)=w(kh，η)当作问题 (6)的解，可以得到一族wh(ξ，η)，wh(kh(1- λ)+(k+1)hλ，η)=wk(η)(1- λ)+wk+1(η)λ，0 ≤ λ ≤1，k=0，1，2，… ．

根据引理1—引理4，wh(ξ，η)关于ξ满足Lipschitz条件，并且当0〈ξ〈X，0〈η〈1-ε，0〈ε〈1时，wh(ξ，η)在η上关于h一阶一致有界．由Arzela定理知，存在序列hi→0，使得子序列whi(ξ，η)在矩形区域上一致收敛于某一函数wh(ξ，η)．因为M9(1-η)σ≤wh≤M2(1-η)σ，whi可以在Ω内一致收敛到w．

由式 (27)—式 (28)可得w(ξ，η)存在有界的弱导数 wξ，wη，wηη，并且 wwηη在 Ω 内有界．不妨设序列whi(ξ，η)满足在区域内相应的偏导数在 L2(Ωε)的意义下收敛于 wξ，wη，wηη．

记wkh=wh(ξ，η)=w(kh，η)．由式 (6)的方程可得:

假设φ(ξ，η)是光滑函数，且使得suppφ⊂⊂Ω．令φk(η)=φ(kh，η)，在式 (41)两边同乘以hφk，将所得的方程关于η从0到1积分，同时对k从1到m(h)求和，有

记

为了证明式 (5)中w及其导数在Ω的子区域内满足Hölder条件，考虑下面的方程

下证边界条件 (4)也是满足的．由式 (4)的第一个条件知，wh是一致连续的，并且当η=1时，问题(6)的条件成立．令因为当η〈1-δ时，在h上一致有界，并且满足式 (6)的第二个边界条件，则:

当hi→0时，在L2(Ω)的意义下 zh⇀z=υwwη+υηw2-v0w+c．因此，由式 (47)可得即边界条件 (4)也满足．

定理2问题(4)—(5)存在唯一的解ω，有如下的性质:w在¯Ω内连续，它的导数wξ，wη，wηη在Ω内连续;在Ω内wηη≤0，w≥0;当η=0时w〉0;wη关于η在η=0处连续．

证明 假设问题(4)—(5)在Ω内的两个解w1，w2有如上的性质．令则可以得到，如果α〉0且α足够大，当η=0时，w1〉0，w2〉0．因此，当η≤1时，既没有正的最大值也没有负的最小值，即≡0，w1≡w2，唯一性得证．

定理1和定理2作为推论，在下面的证明中得到定常对称微流边界层系统 (1)— (2)解的存在唯一性．

定理3问题(1)—(2)在D中的解满足以下的性质:u/U，uy/U在中连续有界;当x〉0，y〉0时，u〉0;当y→∞时，u→U，u(x，0)=u(0，y)=0;当y≥0时，uy/U〉0;当y→∞时，uy/U→0，uyy，ux，uy关于y在中连续有界;v关于有界的y是有界的;υ(y)在D内有直到三阶的有界导数;uyyy在¯D中有界;uxy关于有界的y在D内有界;uxy，uyyy在内连续;uyy/uy关于y在内连续．此外，

证明 如果w(ξ，η)是问题 (4)— (5)的解，并且有定理1中的性质，可以利用Crocco变换，把问题 (4)— (5)的解转换成问题 (1)— (2)的解的形式．根据Crocco变换，可以得到

由w及其导数的性质知，弱导数ux，uyy，uyyy在D内有界．uxy对有界的y有界;由w，wξ，wη，wwηη的性质，知式 (48)成立．且由式 (51)知ux，uyy关于y连续．

按如下的方式定义函数v(x，y)

关于y微分式 (52)，可得vyuy+vuyy+uyux+uuxy-υuyyy-2υyuyy-υyyuy=0，即

函数w(ξ，η)=uy/U满足方程 (5)，在方程 (5)中用u的导数代替w的导数，可得

把式 (54)乘以U后与式 (53)作和，可得uyvy+uyux+ruxuy/r=0，即

式 (52)和式 (55)就组成了所考虑的系统 (1)．由式 (4)知，

定理4 令 u，v是问题 (1)— (2)的解，其导数 ux，uy，vy，uyy，uyyy，uxy在 D中连续，u/U，uy/U在中连续;当y≥0，x〉0时，uy〉0;当y=0时，uy/U〉0;当y→∞时，uy/U→0;uyy/uy，ux关于y在y=0点连续;(uyyyuy-u2y)/u2>y≤0，则u，v是问题 (1)— (2)的唯一解．证明 此定理的证明与文献[1]中定理3.1.8的方法一样，这里不再叙述．

[1]OLEINIK O A，SAMKHIN V N.Mathematical models in boundary layer theorem [M].Boca Raton:Chapman and Hall/CRC，1999.

[2]ANDERSON I，TOFTEN H.Numerical solutions of the laminar boundary layer equations for power-law fluids[J].Non-Newton，Fluid Mech，1989，32:175-195.

[3]SCHLICHING H，GERSTEN K，KRAUSE E.Boundary layer theory[M].8th ed.New York:Springer，2004.

[4]LI L，ZHAN H S.The study of micro-fluid boundary layer theory [J].WSEAS Transaction on Mathematics，2009，8(12):699-711.

[5]GILBARG D，TRUDINGER N S.Elliptic partial differential equations of second order[M].New York:Springer-Verlag，1977.

[6]ZHANG J W，ZHAO J N.On the global existence and uniqueness of solutions to non-stationary boundary layer system[J].Science in China，2006，36:870-900.

[7]E W N.Blow up of solutions of the unsteadly Prandtl's equations[J].Comm Pure Appl Math，1997(1):1287-1293.

[8]XIN Z，ZHANG L.On the global existence of solutions to the Prandtl's system [J].Adv in Math，2004，191:88-133.

[9]ZHAN H S.On a quasilinear degenerate parabolic equation [J].Chinese Annals of Math，2006，27A:731-740.