一类跳扩散过程不变测度的存在唯一性

吴 晔

(福建江夏学院电子信息科学系，福建 福州 350108)

0 引言

近年来，以布朗运动和跳过程为基本模块的跳扩散过程引起人们极大的关注.跳扩散过程的定义:设Wt为d维标准布朗运动，N(dt，dz)为Rd上独立于Wt的Possion随机测度且具有特征测度μ(dz)．设˜N(dt，dz):=N(dt，dz)-dt×μ(dz)为补偿测度．考虑下列Rd上的随机微分方程:

其中，σ、b和∫c(·，z)2μ(dz)在Rd上连续，且对任意进一步，假设:1)对任意K〉0和任意存在常数LK〉0，使得存在常数C〉0，使得对任意

在条件1)、2)下，随机微分方程 (1)存在唯一强解 (参见文献 [1-2])，过程Xt称之为跳扩散过程，它在实际中有广泛应用．式 (1)确定的跳扩散过程是一类强马氏过程，它的无穷小生成元作用在光滑函数上具有以下形式:

这里，对任意x∈Rd，a(x)=σ(x)σ*(x)．由方程 (1)中系数的连续性可知，式 (2)为任意f∈C2b(Rd)均有意义．

本文旨在给出跳扩散过程存在唯一不变测度的充分条件．设(Pt)t≥0为Xt对应的马氏半群，π为Pt的平稳概率测度，即对任意t〉0和A∈B(Rd)，∫P(t，x，A)π(dx)=π(A)．如果Xt具有唯一不变概率测度π，且对任意x∈Rd，当t→∞，转移概率P(t，x，·)全变差收敛于π，则跳扩散过程称为全变差定义下稳定[3]．跳扩散过程不变测度的存在性已经被许多学者所研究，但是其唯一测度性是个很困难的问题．常用于研究不变测度唯一性的方法是Doob-Khasminskii条件[4]，即证明半群Pt是强Feller且不可约的.目前，关于跳扩散过程强Feller性质和不可约性质的研究还很少，仅见文献 [5]关于扩散矩阵a(x)严格正定和特征测度μ(dz)满足某种条件时的讨论.为了证明跳扩散过程不变测度的唯一性，本文采用耦合方法并结合马氏过程e-性质．

定理1 设Xt为方程的唯一强解，假设下列两个条件成立:1)存在常数κ〉0和η∈(1，2)，使得当充分大时，2)假设存在常数δ〉0，使得对任意x，y∈Rd且则过程Xt具有唯一的不变测度π且对任意x∈Rd，当T→∞时，Pt弱收敛于π．

1 不变测度的存在性

命题1 设Xt为方程 (1)的唯一强解，假设下列条件之一成立:

则过程Xt存在不变测度．

证明 文献[3]的定理4.5指出，如果马氏过程xt是Cb(Rd)-Feller连续且满足下列的Foster-Lyapunov漂移条件:存在c，d〉0和紧函数f≥0，紧集C，使得对任意x∈Rd，则Xt具有不变测度．进一步根据文献[6]，可以选择紧函数f属于算子L的广义定义域˜D(L):={f:是关于Px的局部鞅}，其中Ft是Xt的自然信息域σ(Xs:s≤t)．根据文献[6-8]，有D(L)⊂(L)，其中:(L):={f∈C2b(Rd): 函数是局部有界}．

由文献[9]知道，跳扩散过程X是Cb(Rd)-Feller连续．另外，设ρ∈C2(Rd)，使得当其中 η ∈ (1，2);当时，时，有对任意记V(x)=ρ(x)2-η，则∂iV和∂ijV局部有界，并且V∈D(L)⊂D˜(L)．进一步，当时，

当x充分大时，根据式 (3)，LV(x)≤-κ(2-η)/2．根据方程 (1)系数的连续性，利用中值定理得到，对任意紧集C，存在d〉0，使得supx∈CLV(x)≤d．这样，给出条件 (4)的成立性，从而证明命题1第一个结论．

为验证命题1第二个结论，只需考虑不等式 (6)．根据中值定理，有这样

2 不变测度的唯一性

2.1 耦合过程的构造

首先将式 (2)给出算子，写成 L:=L1+L2，其中对于扩散部分 L，使用起步走耦合(参见文献[10])．设对任意x，y∈Rd，C(x，y)=σ(x)σ(y)*．这样对应的2d×2d 扩散矩阵，漂移项为另一方面，L2的耦合算子定义如下:．这样是式(2)给出算子L的耦合．根据文献 [8]，可以证明存在一耦合过程Zt:=(˜Xt，˜Yt)，使得当t≥T时并且过程Zt在T时刻之前对应的算子就是本文构造的算子，其中T是Zt的耦合时间，即

引入一列辅助函数{hn}n≥1，其中对任意n≥1，hn∈C2(R)，当当(参见文献 [6])．有命题2．

命题2 对任意x，y∈Rd且其中

2.2 不变概率测度的唯一性

首先给出不变概率测度与Wasserstein度量的关系．给定一度量函数φ和两个概率测度P1，P2，则 φ-Wasserstein度量定义如下:其中 P 表示所有的关于 P1，P2的耦合测度[11-12]．

命题3 设马氏转移函数P(t，x，·)是Cb(Rd)-Feller连续且Foster-Lyapunov漂移条件式 (5)成立，假如存在δ，κ〉0，使得对任意有

2.3 定理1的证明

从命题1的证明过程可知，过程Xt是Cb(Rd)-Feller连续且Foster-Lyapunov漂移条件 (5)成立，从而过程具有不变概率测度．根据命题3，只要证明式(7)．采用2.1节中耦合算子和耦合过程，那么这样只要证明，存在常数c〉0，使得对任意δ〉0且x，y∈Rd满足根据文献[8]定理2.1和命题2的证明可以得到该结论．

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