基于预解算子的非局部分数阶微分包含解的存在性

嵇绍春, 李 刚

(1. 淮阴工学院 数理学院,江苏 淮安 223003; 2. 扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州 225002)

本研究在实Banach空间X中讨论如下具有非局部条件的分数阶微分包含的初值问题:

Dαx(t)∈Ax(t)+F(t,x(t)),t∈J；

(1)

(2)

分数阶微分包含作为整数阶微分包含的推广,由于其在物理学、工程学和控制理论中的广泛应用,受到许多学者的关注,关于分数阶微分方程和微分包含解的存在性与可控性理论已取得一些结果[1-4]。在一阶微分方程研究中算子A通常会假定生成强连续半群，对应到分数阶微分方程，可以通过构造分数阶预解算子来讨论，以更好地分析分数阶微分方程解的代数结构。在0<α<1情形下,Wang等[5-6]和Ji[7]利用Laplace变换和概率密度函数讨论了分数阶微分方程解的合适定义、存在性和可控性；陈丽珍等[8]利用逼近解讨论了一类非局部微分包含解的存在性。但当1<α<2时,分数阶微分包含不同的预解算子和解算子形式,相关性质的研究还很不充分,Li等[9]、Lian等[10]利用预解算子讨论了单值情形下一类非局部分数阶微分方程的解。本研究利用集值映射不动点定理,将文献[9-10]的研究结果推广到多值的微分包含情形,并在非局部项g具有连续性的条件下讨论分数阶非局部微分方程,减弱了非局部问题研究中对非局部项紧性和Lipschitz连续性的较强要求，改进和推广了文献[6-8]的相关结果。

1 预备知识

令X,Y是拓扑空间,R是实数集。记P(X)={A⊆X:A是非空的},Pkv(X)={A⊆X:A是非空的凸闭集},Pcp,v(X)={A⊆X:A是紧凸集}。对算子F:X→P(Y),若算子F的图graph(F)={(x,y):y∈F(x),x∈X}是X×Y的闭子集,则称F是闭算子。记集合

SF(x)={f∈L1([0,b];X):f(t)∈F(t,x(t)),a.e.t∈[0,b]}。

若存在x∈X,使得x∈F(x),则称x是集值映射F的不动点。分数阶微积分的相关定义和性质可见Kilbas等的论著[1]和文献[5-8],当函数取值于一般的Banach空间时,定义中的积分为Bochner意义下的积分。

定义1函数h∈L1(J,X)的α阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为：

其中Γ(·)为Gamma函数。

定义2函数h∈L1(J,X)的α阶Caputo分数阶导数定义为：

其中，h(t)有从1到(n-1)阶的绝对连续导数,n=[α]+1。

定义3[9]一族算子{Cα(t),t≥0}⊂B(X)称为A生成的分数阶预解算子(也称为α阶cosine算子族)，如果满足下列条件:

1)t≥0时,Cα(t):X→X是连续算子,且Cα(0)=I,I是恒等算子;

2)Cα(t)D(A)⊂D(A),且当x∈D(A),t≥0时,ACα(t)x=Cα(t)Ax;

此时应注意分数阶预解算子Cα(t)不具有半群性质。文献[9]基于预解算子,利用Laplace变换得出单值情形分数阶微分方程的解,类似给出微分包含式(1)～(2)的解。

定义4若函数x∈C(J,X),且满足积分方程

本研究作出如下假设:

(H1) 当t>0时,Cα(t)是紧算子且按算子范数连续,令M=supt∈J‖Cα(t)‖<∞。

(H2)F:[0,b]×X→Pcp,v(X)满足：①F是Caratheodory上半连续的,即∀x∈X,映射F(·,x):[0,b]→Pcp,v(X)决定一个强可测选择;对几乎处处t∈[0,b],集值映射F(t,·):X→Pcp,v(x)是上半连续的;②存在N∈R+和递增函数q:R+→R+,使得

‖F(t,x)‖:=sup{‖y‖:y∈F(t,x)}≤Nq(‖x‖),∀t∈[0,b],x∈X。

可见t∈J时,Sα(t),Pα(t)是有界线性算子。

引理1[10]令1<α<2,若假设(H1)成立，则

3) 当t≥0时,Sα(t),Pα(t)是紧算子;

4)Sα(t),Pα(t)在[0,b]上按算子范数连续。

引理2[11]令X是Banach空间,设F:[0,b]×X→Pcp,v(X)是一个Caratheodory集值映射且Γ:L1(J,X)→C(J,X)是线性连续映射,则算子

Γ∘SF:C(J,X)→Pcp,v(C(J,X)),x→Γ(SF(x))

是C(J,X)×C(J,X)上的闭图算子。

引理3令Yr={x∈C(J,X):‖x(t)‖≤r,t∈J}。若假设(H1)(H2)成立,则算子

Q:Yr→P(C(J,X)),

证明:只需证明QYr是C(J,X)上的相对紧集。首先对任意t∈J,x∈Yr,(Qx)(t)在X中相对紧。若t=0,(Qx)(0)=0显然成立。对t∈(0,b],ε∈(0,t),定义

因为Cα(ε),ε>0是紧算子,所以(Qεx)(t)是X中相对紧集。同时注意到

由Cα(t)的连续性,引理1(4)和ε的任意性可得,当ε→0+时,(Qεx)(t)→(Qx)(t)。此时可知有一列相对紧集逼近集合(Qx)(t),于是(Qx)(t)也是X中相对紧集。

接下来说明QYr的等度连续性。令0≤t1

引理4[12]设X是局部凸的Hausdorff空间,D是X中的非空闭凸子集。若集值映射F:D→P(D)是上半连续的紧算子,且对任意x∈D,F(x)是D中的非空闭凸子集,则存在y∈D,使得y∈F(y)。

2 主要结果

为讨论分数阶非局部微分包含式(1)～(2)的解,在C(J,X)上定义算子G,G1,G2,

显然G=G1+G2,若G存在不动点,此不动点就是方程(1)～(2)的适度解。对非局部项g给出如下假设：

注1假设(H3)不要求g是紧算子或者Lipschitz连续,所用条件比文献[6-8]更弱,下面会给出满足此要求的g的函数形式。

利用引理4来证明算子G存在一个不动点,此不动点就是微分系统式(1)～(2)的适度解。

定理1若假设(H1)(H2)(H3)成立,则分数阶非局部微分包含式(1)～(2),在条件成立时,在[0,b]上至少有一个适度解。

(3)

证明:证明过程分为4步。

第1步,存在r>0,使得G映射Yr到它自身。对t∈J,f∈SF(x),x∈Yr,由式(3)可得:

第2步,构造Y⊂Yr使得G:Y→P(Y)具有非空凸闭值。因为SF(x)是凸集,易见对任意x∈C(J,X),G(x)具有凸值。为说明G是闭算子，令{xm}m∈N,{ym}m∈N⊂C(J,X),且满足xm→x,ym∈G(xm),ym→y,则存在{fm}m∈N⊂L1(J,X),fm∈SF(xm),使得

第3步,证明G是紧算子。对t∈(0,b],因为Cα(t),Sα(t)是紧算子,故

最后,由引理4的不动点定理可得,G至少存在一个不动点,此不动点即为分数阶微分包含式(1)～(2)的适度解。证明结束。

下面给出满足条件(H3)的函数g的一些情形,其完全去掉之前关于非局部微分方程讨论中对非局部项紧性和Lipschitz连续性的要求。

(H4)g:C(J,X)→X是一个映射Yr到有界集的连续算子,且存在δ=δ(r)∈(0,b),使得对x,y∈Yr,满足x(t)=y(t),t∈[δ,b]时,有g(x)=g(y)。

推论1若假设(H1)(H2)(H4)成立,则分数阶非局部微分包含式(1)～(2)在条件(3)成立时,在[0,b]上至少有一个适度解。

证明:令

(GYr)δ={u∈C(J,X):u(t)=v(t),当t∈[δ,b];u(t)=v(δ),当t∈[0,δ]，其中v∈GYr}。

注2假设(H4)描述了系统状态x(t)在零点处的小扰动不影响非局部项g(x)的取值,Ji等[7],Lian等[10]利用逼近解的方法讨论了单值情形下非局部分数阶微分方程在假设(H4)下解的存在性和可控性,这里从定理1的结论可以直接得到相关结果。进一步，本研究方法同样适用于非局部微分方程和微分包含解的可控性问题的研究。

在考查非局部初值问题时,非局部项常具有表达式:

此时初值条件不仅可以考虑t=0的状态，而且可以纳入t=t1,…,tp时的状态[13],从而得到系统更多的信息,显然此时非局部项g满足条件(H4)。

推论2若假设(H1)(H2)(H5)成立,则分数阶非局部微分包含式(1)～(2)在条件(3)成立时,在[0,b]上至少有一个适度解。

下面举例说明本研究的主要结果。

例:考察如下偏微分方程

(4)

此时假设(H1)和(H5)成立,如果假设(H2)和(3)式成立,则由定理1的推论2可得,偏微分方程(4)至少存在一个适度解。

3 总结

利用分数阶预解算子研究了一类Caputo分数阶微分包含解的存在性,分数阶预解算子作为线性算子半群(对应α=1)的推广,其紧性和等度连续性等性质在分数阶微分方程和微分包含解的讨论中发挥着重要作用。本研究将分数阶微分方程的讨论由单值情形拓展到多值情形,通过对非局部项作新的假设,降低对非局部项紧性条件的限制,拓展了结论的适用范围。在分数阶微分方程可控性的研究中,一定条件下预解算子族的紧性会导致研究空间退化为有限维空间,而紧性条件在微分方程的讨论中发挥重要作用,所以在下一步的工作中将关注如何减弱预解算子的紧性条件,将研究方法扩展到无穷维空间分数阶微分方程的可控性。