模糊数学课程的教学改革探析

李永明，金雪莲

(辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001)

模糊数学是一门崭新的学科。1965 年美国自动控制专家L.A.Zadeh 教授发表了开创性论文“模糊集合”，模糊数学由此诞生。最初，数学给人的印象一直以精密为人所知，从平常的学习中并不能看出数学与“模糊”有什么必然的联系，但实际上模糊数学却充斥着我们的日常生活，如“三十来斤”“大半天”“长得漂亮”等等。模糊数学是数学的一个分支，以“模糊集合论”为基础，使上述模糊概念有了相对应的专业描述方式，是一种类似描述人脑思维和自然语言的方法。该学科在理论上有着很强的“不确定性”，也渗透着辩证思维，在应用上有突出的前瞻性和发展性。近年来，模糊数学的研究和发展受到社会各界人士的广泛关注，并将此基础理论应用于信息科学和计算机科学与技术等多个领域，取得了显著的研究成果和经济效益[1]。随着国家经济多元化发展，人才培养方面急需复合型交叉学科人才。因此，课程要突出实用性及前瞻性。众多高校把它设立为研究生学位课程，它在复合型人才培养中具有不可替代的作用。在新时代下，这门课程的建设与改革、创新及实践已经成为必然，用以培养研究生的独立性、自主探索创新能力与实践技术能力。

一、课程特点分析

（一）不确定性

为了能够合理解决现实中存在的模糊概念和模糊现象，模糊数学模型凭借精确的数学手段对其进行描述。由一个确定性的数学模型拓宽到一个模糊化的数学模型，我们关于事物的研究已经由简入繁，从静态可逆分析发展到动态不可逆分析。观察事物的角度发生了变化，处理问题的方式也会随之改变，固化的思维模式被打破，动态、变化的观念得以建立。例如经典的判定老年人的例子：如果根据政策规定来判定是否有老年人优惠，单纯定义多少周岁以上为老年人，多少周岁以下不是老年人的方法是可行的；但如果做年龄分布,整体年龄趋向这种没有广义定义的设定，又不能利用非此即彼的概念，那么我们尝试使用模糊集合来描述就最为恰当。所以在教学过程中，需要帮助学生从非此即彼的固定思维中走出来，完全转化为亦此亦彼的逻辑概念，从而完成由机械思维到辩证思维的转变。这种思维方式也是未来社会发展的方向，帮助当代研究生思考问题时采用多种方式。思维方式不再是单一且固化的，能够综合分析、灵活思考。

（二）实用性

模糊数学在应用理论、模型来解决实际工程中发生的问题时，体现了其较强的实用性。模糊数学的实际研究涉及控制界、医学界等众多领域，应用性很强，“将离散化的变量连续化”的思路使得很多问题处理起来会显得更简单。近年来，随着信息技术的快速发展，模糊控制在各个领域中发挥着自己的优势，例如在家用电器设备中就存在着大量的模糊控制的应用；在发酵过程等工业控制领域中同样存在着模糊控制；另外，还有在生活中随处可见的地铁、智能汽车和机器人等，都应用了模糊控制。在教学中，需要考虑如何合理选择教学内容，培养学生对复杂系统做出合乎实际的描述和处理的能力，坚持理论探索和实践教学双管齐下[2]，使学生在理解理论知识的基础上，灵活应用于实际。

（三）发展性

从模糊集合论诞生至今，模糊数学理论的日臻完善，模糊集的理论与方法现已被广泛地应用于工业自动化控制、图像识别、医学诊断等各种不确定的决策领域[3]。在日常生活中，刷脸支付、刷脸进站乘车、购票、人工智能产品等都应用的模糊数学理论，不仅在便利我们生活各方面有实际效果，而且取得了很多令人惊喜的科研成果，就连无人机、无人驾驶都离不开模糊数学的应用。模糊数学与计算机也有着密切联系，如模糊模式识别、模糊逻辑等[4]。借助相关数学模型的建立并由计算机辅助求解也是教学的主要组成部分。

二、教学内容与体系的完善

辽宁工业大学（以下简称我校）的模糊数学课程于2012 年被评为辽宁省首批研究生精品课。经过课程团队人员多年来坚持不懈的努力和不断地深入探索，对该课程进行了深入的研究与挖掘。根据当前研究生培养目标及培养模式的特点和要求，教学内容和课程体系的改革要以加强基础、增强素质、提高能力为目的，对讲授的知识进行整合更新，形成了视频及数字资源。在制作的“模糊数学及其应用研究生省级精品课”网页中，学生可在其找到相应课程章节的教学视频及作业，方便学生自主学习。不断加强课程建设，不仅保留并提炼经典内容，也要传授本学科的新思想、新理念；不但要兼顾当下的发展模式，也要考虑未来的教学延伸发展，培养学生独立的学习思维以及自主创新实践的能力，以此提高学生的综合素质。在课程的讲授方面，要密切关注当下研究生教育的新形势，增强其创新思维和解决实际科研问题的能力，以培养引导研究生进行独立分析、解决现实问题的综合能力为教育目标，坚持能力与素质综合协调发展，树立新时代研究生的新思维。此外，也需要关注研究生个人的自我完善，提高研究生自我反思和深刻剖析自己优缺点的能力；不但培养研究生的创造性和在科研方面的独立思考、自主发现问题、解决问题的能力，还要培养研究生的责任感和审辨力等。

与本科生相比，研究生教育更注重的是培养学生独立研究问题和解决问题的能力，特别是培养个人的科研能力。本科教育旨在培养社会通用型人才，而硕士研究生阶段则属于“术业有专攻”，培养具有创新性的过渡型人才，进一步为社会输送更高层次的专业型人才或继续深造，这也是我们在教育改革路上一直坚持的目标。模糊数学课程将围绕各种科目，例如模型思想、推理能力、应用意识、数据分析观念等核心概念培养当下所需要的具有数学必备品格和数学关键能力的核心人才。

三、教学内容与方法的改革

模糊数学课程是我校理工科研究生一门重要的公共基础课，为我校研究生第一学期课程，共68学时。规范教学内容和确定完整的教学体系是我校研究生模糊数学精品课程建设的重点内容之一。

（一）关于教学内容的几方面工作

1.合理分析并选择课程的主要基础知识进行教学。通过多年教学实践经验，确定基础内容为：模糊集合基本理论，模糊截集与分解定理，模糊推理等内容。学生通过初步学习来了解课程背景及研究意义，通过掌握模糊数学基础理论和方法，加深学生对模糊数学的理解，为后续学习模糊数学在不同学科领域中的应用打好坚实的理论基础。

2.精选模糊数学应用最为广泛的几个领域，即模糊模式识别、模糊聚类分析和模糊综合评判为主要教学内容，这不但包含了模糊数学应用的一般理论，还有实例分析。这三部分的内容相对独立，学习重点为实际应用中这些理论依据的实现以及思维方法的体现。授课时,根据该领域中最新的研究成果加以探究，提高学生积极性，同时增强学生的自主分析和解决问题的能力。

3.强调发挥学生的主观能动性。授课期间挑选各领域中先进的研究成果，让学生研读并在课堂上相互交流。经讨论，每名学生写一份针对某篇科研成果的读后感，将模糊数学理论应用的部分进行总结，或者阐述自己对文章的看法或其他观点等。给学生独立思考的空间，激发学生的主观思考能力，多学、多听、多思考，自主搜集相关资料。主讲教师和同学们互相讨论并进行思维“碰撞”。在此过程中，可以培养学生知行合一的理念，调动学生在课堂中的积极性，加强学生对所学知识的理解和掌握。这也符合对研究生教学培养目标的设定，为培养数学必备品格和数学关键能力的核心人才奠定基础。

4.加强计算机辅助教学。涉及实际问题处理时，由于出现的待处理数据相当大，如果仅依靠人工的计算很难完成，而且也容易出错。另外，检测也是一项非常困难的工作。计算机技术伴随着科技的发展而飞速提升，应用于数学的软件最有效的就是MATLAB[5]。根据模糊数学的理论特点、计算方法，结合MATLAB 软件的优点，不仅可以提高教学质量，还能减少计算错误，提高课程教学效率，而且能更直观地将问题表述出来，直观地给出解决问题的方法。深入浅出地阐述模糊控制系统的组成及设计方法，介绍MATLAB 中模糊工具箱的应用，探讨模糊控制器的结构，学习模糊控制的本质，并介绍几种先进的模糊控制方法，让学生真正了解模糊数学在MATLAB 当中的模块应用。让学生自主动手，将实际问题用计算机语言进行建模处理，并借助计算机的功能得到学生想要的答案，同时也培养学生认真求实的精神，激励学生不断前进。这也是我们在教学过程中需要关注的重点内容。

（二）关于教学方法的几方面改善

1.师生间的“合作式学习”。授课时，教师不但要介绍主题相关概念，还要设计相关学习内容以此吸引学生的兴趣。将“模糊聚类分析”“模糊综合评判”“模糊模式识别”等作为教学案例讲授。积极鼓励学生展示自己解题思路和想法，在学生掌握基础理论之后，再仔细研读各领域中最新研究成果，并针对文章的理解发表自己的见解[6]。这样才能使“亦此亦彼”的辩证思维模式深入人心。通过这种新型的学习方式，教师和学生的角色发生巨大的转变：教师从主导性课堂的讲解者转变为课堂设计的协调者。教师和学生能够进行平等交流，教师不再是课堂上的“独角”。学生也不再被动地接受知识，而是在学习知识过程中成为课堂的主导者[7]。

2.将传统教学与新兴教学手段紧密相融，以此达到预期的教学效果。我们精心制作的多媒体课件，不仅保留了学生与教师面对面直接交流的传统教学优势，将晦涩难懂的内容全部采用了传统的板书教学，同时引入多媒体辅助教学。通过结合MATLAB 软件，大大提高了教学质量和效率。将抽象难以理解的数据信息转化成图像，使学生能够一目了然，形成一个全新的可视化互动多媒体教学情景环境，增加了课堂的趣味性，而且它能够有效地刺激学生的思维，不仅激起学生对课程的兴趣，还能打破传统枯燥的教学氛围。

3.开发数学实验系统平台。为了配合模糊数学精品课的建设与改革，我们开发了互联网数学系统网站。网站中设置了模糊数学课程的教学大纲、教学课件和课程章节视频讲解等各种资源。学生可以通过线上自主学习，加深自己对所学知识的认识与理解，养成自主性学习、钻研性学习和发散性思维的习惯。打破学科樊篱，达到知行合一。创造性思维是培养学生创新能力的必要条件，因而，我们制作的网络学习平台就很好地为学生开发创造性思维提供了有利的客观环境。

四、结论与展望

经过课程团队多年对模糊数学课程不断地探索、钻研，也只是初步完成了课程基础改革。本文已在教学内容和教学模式等方面做出了改革，但关于该课程未来的发展道路仍任重道远。我们不但要严格遵循教育部最新关于精品课程建设的各项要求和政策，还必须通过探索和促进精品课程的建设来发展并推动优质教育教学资源共享，从而真正实现全面提高教学质量的目标。另外，还需要深入培养学生的数学思维和计算机编程等能力，充分体现出模糊数学来源于实际、学习于理论、应用于实际的教学目的。进一步探索适合模糊数学的教学新方式，将创新式课堂与学生实践能力相结合，在不丢失理论的前提下更侧重于实际，以期将“模糊数学”建设成为一门新时代兼具数学特色和前沿成果的研究生特色精品课程。