资产价格产生非线性特征的内在原因分析——基于异质信念资产定价模型的蒙特卡罗法模拟

邹裔忠

（武夷学院 商学院，福建 武夷山 354300）

现代经典的金融理论建立在理性经济人假定和有效市场假说基础上，资产价格遵循几何布朗运动。但随着实证工作不断取得进展，显现出资产价格时间序列存在着丰富的内在结构和非线性特征，常见的有：尖峰肥尾特征的非正态分布、自回归条件异方差（GARCH）模型捕捉到的波动率聚类现象、自回归分形积分移动平均（ARFIMA）模型刻画的长期记忆现象、混沌理论能够体现的时间标度上的自相似特征等。这些能够体现非线性特征的模型都是经验模型，缺点是无法深入资产价格产生非线性特征的内在原因，上述非线性特征究竟是由不同的内在原因引起的还是由共同的内在原因引起的呢？它们之间关系的研究文献比较少。William和George（2007）假设信息是均匀出现的，并用异质投资者的行 为 来 解 释 ARCH 效 应［1］，Brock 和 Hommes（1998）提出的ABS模型也是从异质投资者的行为证明了混沌的存在［2］。本文从投资者的异质信念资产定价模型出发，运用蒙特卡罗模拟的方法，研究与有效市场理论中理性人假设不同的异质信念投资者是否是证券收益率产生非线性特征的内在原因问题。

一、异质信念资产定价模型

异质信念资产定价模型有许多，其中影响最大的是Brock和 Hommes（1998）的适应的信念系统（ABS）模型。该模型假设有两类异质信念投资者：基础分析者，他们认为股票的价格由经济基础唯一决定；技术分析者，他们企图通过历史价格的模式来预测未来的价格，如正反馈交易、动量交易、趋势外推法、反转交易，等等［3］。在这一个异质信念的资产定价模型中，假设投资者可以在一个时期t支付不确定红利yt的风险资产或者一个固定收益为r的无风险资产之间选择。pt表示时期t风险资产每股价格（无红利），｛yt｝ 服从独立同分布过程。假定在资本市场上存在H种不同的投资者类型或者策略。在时期t投资者h购买风险资产的数量是zh，t，则在时期t＋1投资者h所实现的财富为：

其中，Rt＋1＝pt＋1＋yt＋1－（1＋r）pt为风险资产的超额收益。Eh，t和Vh，t表示投资者h基于过去的风险资产每股价格和分红的公共信息集Ft＝｛pt－1，yt－1，pt－2，．．．｝的条件期望和方差。假设投资者是均值－方差最优化，则投资者h对风险资产份额的需求zh，t应满足：

其中，a为非负的风险厌恶因子。令Z和nh，t表示风险资产的供给和投资者h在t时刻拥有的份额。供给和需求的均衡表示为：

假定风险资产的总量没有变，即风险资产的外部供给是常量0（Z＝0），而且进一步假定红利满足随机游走假 设 （Eh，t［yt＋1］＝yt），Vh，t［Rt＋1］＝。可以得到风险资产的均衡价格为：

当只有理性预期的基础分析投资者参与时，（4）式就变为理性预期价格：

（一）投资者的预期规则

有三类异质信念投资者，其预期价格分别是：

第一类是基础分析投资者，他们认为，明天的价格会按照带有参数v的基础价格p＊t的方向变化。当v＝1时，这类投资者就成为满足有效市场假设下的随机游走。第二类是趋势追随投资者，他们从最近观测的价格改变中推断出明天的价格，也就是进行追涨杀跌。第三类是反向操作投资者，他们预期价格同近期价格的改变成相反方向变化，也就是进行高抛底吸。

三类异质信念投资者对风险资产的超额收益的

条件方差满足：

其中，αh为投资者h的预期误差的记忆因子。

（二）投资者的适应性转化机制

投资者所占的份额满足Gibbs概率：

其中，Uh，t是业绩的测量。参数β称为选择敏感度，它测量不同交易策略的投资者的敏感性。当β＝0时，H类投资者占的份额相等，等于1 H ；当β＝∞时，所有类型的投资者都会选择上一期最成功的策略。业绩的测量Uh，t满足：

其中，参数η（0≤η≤1）代表最佳测量的记忆因子，s（x）为符号函数。

二、蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟是一种仿真（simulation）的方法，通过建立模型，产生相应分布的随机数，来模拟实际存在的过程，并且分析相关的结果。本文对上述异质信念资产定价模型，运用蒙特卡罗模拟法产生风险资产均衡价格的随机数，并对其进行非线性特征的检验。

对上述异质信念资产定价模型中的参数进行假设：无风险资产收益r＝0．03、v＝0．1、λ＝0．5、g＝－0．5、风险厌恶因子a＝3、投资者h的预期误差的记忆因子αh＝0．1、最佳测量的记忆因子η＝0．5、选择敏感度β＝1。模型中的初始值选择：初始风险资产的均衡价格p1＝10、满足随机游走假设的红利yt＝0．3＋ut（其中ut～ N（0，0．04））。运用蒙特卡罗模拟法产生5000个风险资产均衡价格pt的随机数（图1），其图形与证券价格的走势相似。其对应的对数收益率Rt＝ln（pt）－ln（pt－1）的直方图（图2）。从图2中可以看出，JB检验的p值远远小于5%，可以拒绝对数收益率序列Rt是正态分布的原假设，Rt是非正态分布。从图形上看，对数收益率序列Rt具有尖峰肥尾特征的非正态分布的非线性特征。下面就用这个对数收益率序列Rt的数据进行非线性特征的检验。

图1 风险资产均衡价格pt的曲线图

图2 对数收益率Rt的直方图

三、非线性特征的检验

（一）波动率聚类现象

波动率聚类（volatility cluster）现象，指的是波动率可能在一些时间段上高，而在另一些时间段上低，不规则的混合着［4］，GARCH模型捕捉了金融资产收益率时间序列存在的波动率聚类现象。GARCH模型是Bollerslev在1986年提出的，它推广了Engle在1982年提出的ARCH模型。这些模型是用来给资产收益率的波动率（volatility）建模的经济计量模型，称为条件异方差（conditional heteroscedastic）模型，大量的实证也说明GARCH模

其中，vt服从独立同分布，并且E（vt）＝0，D（vt）＝1，α0＞0，αi≥0（i＝1，…，p），βj≥0（j＝1，…，q）。可知εt～N（0，ht），波动率ht是时变的。

用上述模拟出来的对数收益率序列Rt的数据建立GARCH模型，最优结果为式（11），是AR（1）－GARCH（2，1）模型：型在金融分析中有广泛的适用性。一般的，GARCH（p，q）模型可以写为如下形式：

式（11）的统计检验见表1，从表中可以看出其参数的t检验在1%的显著性水平上都要拒绝参数为零的原假设。说明对数收益率序列Rt存在波动率聚类现象的非线性特征。

表1 AR（1）－GARCH（2，1）模型的参数及其检验

（二）时间标度上的自相似特征

自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，证券收益率序列在不同的时间标度上（比如日收益率、周收益率和月收益率）的结构是相似的。混沌运动具有在时间标度上的自相似性，能够扑捉到证券收益率序列时间标度上的自相似特征。混沌动力系统在相空间中经过无数次靠拢和分离，来回拉伸和折叠形成的几何结构，具有无穷层次的自相似结构，这就是混沌中奇异吸引子的分形结构。李亚普诺夫（Lyapunov）指数是判别系统的混沌特征的最常用的方法。

Lyapunov指数是根据混沌系统对初值的敏感性质，用相轨迹有无扩散运动特征来判别系统的混沌特征。设相轨迹上两点之间的初始距离为表示经过n次迭代后该两点之间的距离，对一维映射x（t＋1）＝f［x（t）］，Lyapunov指数定义为：

当λ＜0时，系统有稳定的不动点；λ＝0时，对应着分岔点或系统的周期解，即系统出现周期现象；λ＞0时，系统具有混沌特征。

本文采用 Nychka（1992）［5］、M．Shintaniat和O．Linton（2004）［6］在含有噪音的混沌系统中发展起来的一种能对估算出的Lyapunov指数进行统计检验的方法（称其为Nychka法），突破了以往Lyapunov指数只是点估计的局限，比较适合如证券市场这类含噪音的系统进行实证研究。

用上述模拟出来的对数收益率序列Rt的数据计算出的最大Lyapunov指数见表2。从表中可以看出，在5%的显著性水平上，选择敏感度β不同取值计算出来的最大Lyapunov指数都大于零，并且对应的t检验都是显著的，说明对数收益率序列Rt存在混沌动力性，具有了时间标度上的自相似的非线性特征。

表2 对数收益率序列Rt的最大Lyapunov指数

其中，μ为xt的均值，φp（L）为p阶自回归滞后算子，θq（L）为q阶移到平均算子，d是长期记忆参数，（1－L）d是分形差分算子。ARFIMA（p，d，q）模型中，d可以是分数，当d∈ （0，0．5）时，模型表现为长期记忆性，具有持续性；当d∈ （－0．5，0）时，模型表现为短期记忆性，具有反持续性。

本文运用极大似然估计法（MLE）的原理来进行模型参数的估计，对上述模拟出来的对数收益率序列Rt的数据计算出的长期记忆参数d见表3。从表3中可以看出，在5%的显著性水平上，选择敏感度β不同取值计算出来的长期记忆参数d∈（－0．5，0），并且对应t检验都是显著的，说明对数收益率序列Rt表现为短期记忆性，不具有长期记忆现象的非线性特征。

（三）长期记忆现象

证券收益率的长期记忆现象，是指股价波动具有一种持久性或长期依赖性。用证券收益率序列的自相关函数（ACF）随间隔的增加是以多项式的速度缓慢衰减到零来定义，能够用自回归分形积分移动平均（ARFIMA）模型来刻画，其具有不需要事先知道数据的基本分布类型的优点。时间序列

表3 对数收益率序列Rt的长期记忆参数d

四、结论

本文以投资者的异质信念资产定价模型为基础，运用蒙特卡罗模拟的方法产生异质信念下资产均衡价格的时间序列数据。用JB检验法检验出了资产收益率序列表现为尖峰肥尾特征的非正态分布，用GARCH模型捕捉到了资产收益率序列的波动率聚类现象，用Lyapunov指数说明资产收益率序列存在由混沌动力引起的时间标度上的自相似特征，但用ARFIMA模型没能捕捉到资产收益率序列的长期记忆现象。上述研究说明，投资者的异质信念是证券收益率产生非线性特征的重要原因。

投资者的异质信念与传统的有效市场理论中理性人假设不同，异质信念通常是指不同投资者对相同股票相同持有期下收益分布有不同的判断，也称为意见分歧。投资者的异质性是资本市场的真实特征，不同投资者面对不同的交易成本，有着不同的信息集合，使用不同的均衡收益模型，在不同的时间尺度和时间长度下投资，关于明天的红利和股票价格有着不同的观点和预期。异质信念投资者相互博弈使资产价格产生波动，资产价格波动作为市场信息通过强化和更新投资者信念，投资者重新进行博弈。这样，经济系统一直处在随时间不断演化的过程中，而不是达到某种定态或均衡点，使得资产价格表现为不同的非线性特征。

［1］William R．Parkea and George A．Watersb．An evolutionary game theory explanation of ARCH effects［J］．Journal of Economic Dynamics ＆ Control，2007，（31）：2234－2262．

［2］Brock，W．A．，Hommes，C．H．Heterogeneous belief and routes to chaos in a simple asset pricing model［J］．Journal of Economic Dynamics and Contro，1998，（22）：1235－1274．

［3］Henrik Amilon．Estimation of an Adaptive Stock Market Model with Heterogeneous Agents［J］．Journal of Empirical Finance，2008，（3）：342－362．

［4］Ruey S．Tsay．金融时间序列分析［M］．北京：机械工业出版社，2006．

［5］Nychka，D．，Ellner，S．，Gallant，A．R．and McCaffrey，D．Finding chaos in noisy system［J］．Journal of the Royal Statistical Society，1992，（54）：399－426．

［6］Mototsugu Shintani，Oliver Linton．Nonparametric neural network estimation of Lyapunov exponents and a direct test for chaos［J］．Journal of Econometrics，2004，（5）：1－33．