2类特殊三圈图的路能量

李文静 邵燕灵

摘 要：针对三圈图种类较多且路矩阵复杂度较高的问题，运用矩阵分析方法、根的存在性定理及不等式的放缩，研究了2类三圈图有无悬挂点时的路能量。首先，分别给出2类三圈图有无悬挂点时的4种路矩阵，利用矩阵分析方法对实对称矩阵分块得出对应的特征多项式，由根的存在性定理及韦达定理判定出正负特征值的个数并估计出取值范围;其次，通过不等式的放缩求出2类三圈图有无悬挂点时的路能量。结果表明，2类三圈图在有无悬挂点时路矩阵负特征值的个数及取值范围是不一样的，对应的路能量也是不一样的。所得结果对后续三圈图的路能量极值问题研究具有一定的借鉴价值，也有利于推测相关化学分子结构的性质。

关键词：图论;实对称矩阵;特征值;三圈图;路矩阵;路能量

中图分类号：O157.5 文献标识码：A

文章编号：1008-1542（2020）04-0334-07

doi：10.7535/hbkd.2020yx04006

图能量的研究来源于对化学分子结构的研究。20世纪70年代，著名数学化学家GUTMAN[1]最先提出了图能量的概念，将其定义为图的邻接矩阵特征值的绝对值之和。显然，研究图能量的关键就是研究图的邻接矩阵特征值，即与图谱有关，在文献[2—3]中可查阅关于图谱的性质。研究图能量的方法一般依据的是矩阵理论，关于矩阵的一些研究方法及结论可参考文献[4—5]。随着图能量的提出，许多学者对各种简单图类的能量的界展开了研究，并去刻画相对应的极值图，陆续提出了拉普拉斯能量、无符号拉普拉斯能量、距离能量及Randic'能量等各种能量的定义，关于这些能量的研究可参考文献[6—12]。

PATEKAR等[13]提出了图的路矩阵定义，研究了完全图、树、单圈图、完全二部图及正则图等简单图类的路矩阵特征值及相关性质。SHIKARE等[14]探究了一些简单图路矩阵的谱半径及路能量，提出了关于树、单圈图和双圈图的路能量的极值猜想。AKBARI等[15]证明了上述猜想，得到了n阶连通图的路能量的下界是2（n-1），证明了其极值图是树，还确定了n阶单圈图的路能量是关于圈长k的增函数，因此分别在k=n和k=3时得到最大值和最小值;文献[16]研究了n阶双圈图的路能量，得到当2个圈恰有1个公共点时取得最大路能量，当2个圈恰有1条公共路时取得最小路能量。更多关于路能量与路拉普拉斯矩阵和对应的路拉普拉斯能量的研究参考文献[17—19]。

3 结 语

通过对2类特殊三圈图的路矩阵进行分塊，采用矩阵分析方法，得出了对应的特征多项式，根据根的存在性定理估计出特征值的取值范围，分别证明得到了2类三圈图有无悬挂点时的路能量。

本研究仅研究了2类三圈图的路矩阵和对应的路能量，其余种类的三圈图的路矩阵更为复杂，分块块数更多，应用目前方法研究比较困难。今后将会采用新方法研究其余种类三圈图的路矩阵和路能量，以期得到三圈图路能量的极值图。

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