不可压完全Ericksen-Leslie系统的局部适定性

朱晓霞

（河北科技大学理学院，河北石家庄 050018）

不可压完全Ericksen-Leslie系统的局部适定性

朱晓霞

（河北科技大学理学院，河北石家庄 050018）

考察描述向列型液晶的完全Ericksen-Leslie系统的适定性，利用Tychonoff不动点定理给出了初值在一定正则条件下的不可压液晶方程组局部强解的存在性和唯一性。

液晶；Tychonoff不动点定理；不可压；局部强解；存在性和唯一性

液晶研究始于1888年，奥地利科学家莱尼茨尔合成了一种奇怪的有机化合物，它有2个熔点。把它的固态晶体加热到145℃时，便熔成液体，只不过是浑浊的，而一切纯净物质熔化时却是透明的。如果继续加热到175℃时，它似乎再次熔化，变成清澈透明的液体。后来，德国物理学家列曼把处于“中间地带”的浑浊液体叫作液晶。液晶的定义，现在已放宽而囊括了在某一温度范围可以是现液晶相，在较低温度为正常结晶的物质，液晶既像晶体一样具有特殊光学性质，对电磁场敏感，又具有液体的流动性，其内部分子指向具有一定的规律，极有实用价值。自从液晶理论发展起来以后，大量关于液晶特性的理论和实验性的结果涌现出来，但是大部分都是关于液晶材料在电磁场作用下的效应，Ericksen-Leslie理论非常好地预言了一些性质。Ericksen-Leslie系统耦合了Navier-Stokes方程和Ginzburg-Landau方程，用来描述向列型液晶的速度场和分子方向场。笔者在有界光滑区域Ω⊂R3中考虑具有变分结构的液晶系统［1－3］。

Ericksen-Leslie系统描述了液晶速度场和液晶分子方向场的宏观连续发展。特别的，u系统中存在依赖d的外力项；d-系统的左端表示流的运动输运项，右端表示由弹性能量引起的内部松驰项。很多情形下，速度场干扰分子的指向，反过来，分子指向的改变将诱导速度场。

为了求得方程组（0，1）的定解，未知函数u，d还应满足边界条件和初始条件

1 主要结论

2 定理的证明

首先构造合适的函数空间来研究不可压液晶系统式（1）—式（3）的适定性。

证明 由引理1和引理2，利用Tychonoff不动点定理［8］知映射F在C T中至少存在1个不动点。解的正则性由抛物型方程正则性理论立得。结合由u-方程推导的微分不等式和d-方程推导的微分不等式再应用Gronwall不定式即得解的唯一性［4］，由CT中元素的正则性及上界估计和T（均依赖于初值在V×H3（Ω）3中的模），结合紧性理论和抛物型方程的收敛结果可知解对初值具有连续依赖性。证毕。

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Local well-posed problem of incompressible complete Ericksen-Leslie system

ZHU Xiao-xia
（College of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China）

The well-posed probem of the full Ericksen-Leslie system for nematic liquid crystal is analyzed，and the existence and uniqueness of the local strong solutions to the incompressible liquid crystal equations is obtained by using fixed point theorem when the initial values fit the regular conditions.

liquid crystal；Tychonoff＇s fixed point theorem；incompressible；local strong solution；existence and uniqueness

O635 MSC（2010）主题分类：46A16

A

1008-1542（2012）04-0296-04

2012-04-06；责任编辑：张 军

国家科技支撑计划资助项目（2012BAH20B03）

朱晓霞（1980-），女，河北邢台人，讲师，硕士，主要从事模糊决策、系统规划方面的研究。