各向异性抛物势对非对称高斯势量子阱中强耦合极化子性质的影响

白瑞锋，肖景林

（内蒙古民族大学 数理学院，内蒙古 通辽 028043）

0 引言

早期实验发现，量子阱在阱的生长方向（z轴方向）比x轴方向和y轴方向的受限势强得多［1-2］，量子阱的生长方向（z轴方向）是强受限势.量子阱的生长方向（z轴方向）的强受限势问题在初期研究中没有涉及.近些年有些学者［2］对量子阱的生长方向（z轴）存在强受限势的量子阱的性质进行了研究.实验要求量子阱的生长方向（z轴方向）肯定存在强受限势，这一特性是在实验中最先发现的.近年来理论工作者研究量子阱生长方向的强受限势的性质，通过模拟计算和推导的理论方法寻找强受限势，理论工作者终于找到了2种量子阱生长方向的强受限势的形式，其一是非对称高斯强受限势，这一量子阱称为非对称高斯势量子阱［3-4］，另一种是非对称半指数强受限势，这一量子阱称为非对称半指数量子阱［4-6］.在垂直于量子阱的方向存在一种受限势比量子阱的生长方向的受限势弱得多，是实验中发现的，叫作各向异性抛物势，实验上早已发现是最接近晶体的真实势.笔者采用的理论模型是在量子阱的生长方向存在非对称高斯强受限势而在垂直于阱的生长方向存在各向异性的抛物一般受限势，研究这一量子阱的性质.最近笔者［7］研究了非对称半指数量子阱中弱耦合极化子的基态能量，采用线性组合算符和幺正变换结合的方法，得到GaAs极化子的基态能量随受限势的2个正参数的变化关系，计算结果表明，半指数受限势U和基态能量E0随参数U0的增加而增大，随参数σ的增加而减小.LIANG等［8］利用Pekar变分的强耦合方法导出了存在非对称高斯势量子阱的极化子的基态能量，第一激发态能量和跃迁频率的温度特性.并采用量子统计理论方法计算出极化子的态能和跃迁频率与温度和电子-声子耦合强度之间的变化关系.发现当温度增加时，极化子的态能和跃迁频率增大.CAI等［9］利用线性组合算符和L.L.P.幺正变换方法，在理论上探索库仑杂质势和非对称抛物受限势对非对称半指数量子阱极化子能级特性的影响.数值结果表明，找到在非对称半指数量子阱中5种调节能级结构方式：变化库仑杂质势强度；非对称抛物受限势x和y方向有效受限强度和2个正参数.孙丙西等［10］根据线性组合算符和2次幺正变换方法研究了非对称抛物受限势对非对称半指数量子阱中弱耦合极化子的基态结合能的影响，导出了GaAs非对称半指数阱中弱耦合极化子的基态结合能随x和y方向的非对称抛物受限势的受限强度和非对称半指数受限势的2个正参数的依赖关系.白瑞锋等［11］采用同样的方法，得出弱耦合极化子的振动频率λ随x轴和y轴方向的非对称抛物受限势的受限长度lx和ly的变化关系，振动频率λ随非对称半指数受限势的2个参数U0和σ的变化关系.通过上述的研究发现，通过模拟计算和理论推导，从理论方法上找到量子阱生长方向的强受限势，还可以找到各向异性的抛物受限势.自从HUYBRECHTS［12］对光学极化子的激发态进行研究之后，线性组合算符的方法就在学者们的理论研究中得到了广泛的应用，此方法能够对弱耦合极化子［13］以及强耦合极化子［14］进行研究，而且这也是唯一一种能够对极化子振动频率［5］进行计算的方法.第一性原理方法请见文献［15］.

然而，关于非对称高斯势量子阱中强耦合极化子的平均声子数性质的研究甚少，笔者用线性组合算符方法，在非对称高斯势量子阱中，研究强耦合极化子的平均声子数随x方向和y方向各向异性抛物受限势的受限强度、高斯势阱的范围和势阱的高度的变化关系.

1 理论模型和计算

以RbCl晶体为例，在非对称高斯势量子阱中，x轴方向和y轴方向各向异性抛物势，电子与体纵光学（LO）声子相互作用.电子-声子相互作用系统的哈密顿量可以写成［13，16］

其中

m表示电子的带质量，a+q(aq)是体纵声子的产生（淹没）算符. p 和r 是电子的动量和位置矢量.U(z)是非对称高斯势［13］，z轴是量子阱的生长方向，R和V0分别表示高斯势阱的范围和势阱的高度.方程（1）中的Vq和Vq中的α表示为

其中，α是电子-声子的耦合强度.V为晶体的体积，ωLO为体纵声子频率.方程（1）中的最后2项分别表示x方向和y方向各向异性的抛物受限势，其中，ωx和ωy表示受限强度.对哈密顿量（1）引进线性组合算符

其中，fq(fq*) 是变分函数.

则哈密顿量变为

电子的基态波函数为

得出强耦合极化子的振动频率满足的方程为

极化子的平均声子数为

2 数值结果与讨论

考虑RbCl非对称高斯受限势量子阱中，电子在垂直于阱的生长方向x方向和y方向的势是各向异性抛物势，以RbCl 晶体为例进行数值计算，所采用的实验参量是ℏωLO= 22.317 meV ，m= 0.432m0和α= 3.81［17］其计算结果表示在图1和图2中.

图1展示了当受限强度ωx= 2.4 × 1013Hz 和ωy= 6.0 × 1013Hz 时，平均声子数N随高斯势阱的范围R和势阱的高度V0的变化关系.图1（a）表示N随高斯势阱的范围R变化，图1（b）表示N随势阱的高度V0的变化.图1（a）中的点画线分别表示势阱的高度V0= 1.0 meV ，2.0 meV 和3.0 meV ，图1（b）中的点画线分别表示高斯势阱的范围R= 1.0 nm ，2.0 nm和3.0 nm.由图1（a）和图1（b）可以明显看出强耦合极化子的平均声子数是势阱高度V0的增函数，而它是高斯势阱范围R的减函数.这一现象产生原因是阱的生长方向高斯强受限势，随着高斯强受限势高度V0的增加，高斯强受限势增大，这会导致极化子的平均声子数增多.当高斯势阱的范围R增大却发生相反的结果，其原因是随着高斯势阱范围R的减少，高斯强受限势增大，使极化子的平均声子数增多.

图1 极化子的平均声子数N 随高斯势阱的范围R 和势阱的高度V0的变化关系Fig. 1 Variation of mean phonon number N of polaron with the range R of the Gaussian potential well and height V0 of the potential well

图2 研究了x轴方向和y轴方向的受限强度对极化子的平均声子数的影响，取V0= 6.0 meV 和R= 2.4 nm，在图2（a）中极化子的平均声子数N作为各向异性抛物受限势的x方向的受限强度ωx的函数，对于3 个不同各向异性抛物受限势的y方向的受限强度ωy= 1.0 × 1013Hz，ωy= 2.0 × 1013Hz 和ωy= 3.0 × 1013Hz ，在图2（b）中极化子的平均声子数N作为各向异性抛物受限势的y方向的受限强度ωy的函数，对于3 种不同各向异性抛物受限势的x方向的受限强度ωx= 1.0 × 1013Hz ，ωx= 2.0 × 1013Hz 和ωx= 3.0 × 1013Hz .由图2（a）和图2（b）发现，当x方向和y方向的受限强度增大时，非对称高斯量子阱中强耦合杂质极化子的平均声子数增加，是因为受限强度的增大，导致受限势宽度的减小，粒子运动范围缩少，平均声子数增大.

图2 极化子的平均声子数N 随x方向和y方向各向异性抛物受限势的受限强度ωx和ωy的变化关系Fig. 2 Variation of mean phonon number N of polaron with confinement strengths ωx and ωy of Anisotropic parabolic confinement potential in x and y directions

3 结论

在本研究工作中，研究了非对称高斯强受限势和各向异性抛物受限势对非对称高斯受限势量子阱中强耦合极化子性质的影响.详细分析了高斯量子阱中强耦合极化子的平均声子数随着势阱的高度、高斯势阱的范围和x方向与y方向的受限强度的变化关系.数值计算结果展示，极化子的平均声子数是高斯强受限势势阱高度和x方向与y方向的受限强度的增函数，而它是高斯势阱的范围的减函数.