激光驱动亥姆霍兹电容线圈靶磁重联实验的数值模拟*

许杉杉 梅志星> 仲佳勇 林 隽，4

(1 中国科学院云南天文台昆明650011)

(2 中国科学院大学北京100049)

(3 北京师范大学天文系北京100875)

(4 中国科学院天文大科学研究中心北京100012)

1 引言

在实验室中运用激光与等离子体作用可以产生极端天体物理条件， 从而对天体物理现象进行研究是实验室研究天体物理的主要方法， 例如对磁化天体物理喷流[1]、等离子体磁重联(MR)[2]、等离子体在磁场中的膨胀[3]等的研究. 其中等离子体磁重联是宇宙中许多动力学现象的核心驱动力， 例如地磁亚暴[4]、太阳爆发[5]和磁中子星罕见耀发[6]等. 在这些天体物理现象中， 磁重联是核心的物理过程， 在该过程中磁场拓扑结构发生变化， 并将存储在磁结构中的磁能转换为等离子体的热能、动能以及高能粒子的动能[7].

近年来， 通过在实验室中应用激光驱动的磁重联(LDMR)[8-9]进行了许多有关天体物理现象的研究. 例如， Zhong等[10]在他们的实验中利用强长脉冲(纳秒)激光驱动薄固体靶激发等离子体和磁场， 从而对两个磁化等离子体团之间所发生的磁重联现象进行研究. 当固体靶被激光照射时， 会迅速离子化、并产生向外膨胀的超热等离子体团. 由于比尔曼电池效应[11]， 该等离子体团包含有很强的磁场并跟随等离子体团一同膨胀， 当两个相同的等离子体团碰撞时便会触发磁重联. Zhong等[10]使用两个相同且平行的激光束照射在同一平面靶上的两个位置， 首次在实验室中模拟了太阳双带耀斑现象， 结果显示出太阳耀斑的几个重要特征， 包括耀斑环顶部的软X-射线源以及与磁重联出流相关的环顶下沉过程. Zhong等[12]还进行了另一组类似的实验， 研究了磁重联过程中的带电粒子加速过程.

除了利用两个膨胀的磁化等离子体团碰撞研究磁重联之外， 利用强激光产生的超热电子驱动线圈中产生电流并感应出强磁场的实验方法[13]也运用到磁重联的研究当中.相关实验安排如图1所示: 将两个平行的金属盘用两个平行的U型线圈(又称亥姆霍兹电容线圈)连接起来， 高强度长脉冲激光通过前侧圆盘中间的圆孔照射在后盘上， 导致后盘被迅速烧蚀并产生大量超热电子. 这些超热电子在两块盘之间的运动会使线圈产生强电流， 从而在线圈周围产生强磁场. 根据图1所示的对金属盘和线圈连接方式的安排， 我们知道在两个线圈中的电流为同向平行电流， 它们所产生的磁场在两个线圈中间的位置上方向正好相反， 在充满等离子体的环境中， 磁重联会在连接了两个线圈之间的所有中点的线上发生， 即X-线， 图1中画叉处所标记的X-点为X-线与纸上平面的交点. 在这个过程中， 产生磁重联所需的等离子体通过激光照射金属盘和电流对线圈的焦耳加热产生[14].

图1 激光驱动亥姆霍兹电容线圈靶磁重联的实验装置设置， I表示线圈中的电流， B表示线圈所产生的磁场， 两线圈之间的画叉处标记了磁重联的X-点.Fig.1 The set-up of devices for the magnetic reconnection experiment by the laser driven Helmholtz capacitor-coil targets. I is the current in the coil， and B is the magnetic field that is generated by the coils. The X-point of magnetic reconnection is marked by the cross between the two coils.

该方法也是实验室产生强磁场的重要手段， Fujioka等[15]利用1 kJ激光束照射毫米级电容线圈靶时产生了高达150 T的磁场. Law等[16]使用CH靶在GEKKO-LFEX(GEKKO-Laser for Fusion Experiment)激光装置上进行了该实验并得到了100 T的强磁场. 在利用亥姆霍兹电容线圈靶成功实现强磁场的基础上， Pei等[14]首次在GEKKOXII激光装置上设置了磁重联的实验， 观察到了磁重联出流附近堆积的等离子体羽状流.与以往在高β(等离子体热压与磁压的比值)等离子体环境中由激光直接驱动的磁重联过程相比， Pei等[14]指出， 激光驱动的亥姆霍兹电容线圈的磁重联实验发生在等离子β远低于1的环境中， 因此， 在亥姆霍兹电容线圈靶上进行的实验更适合于研究低β的天体物理环境中的物理过程(见文献[14]中的讨论).

为理解此类实验[14]结果背后的物理原理， 我们进行了3维(3D)磁流体动力学(Magnetohydrodynamics， MHD)数值模拟. 在第2部分， 我们介绍此工作中使用的数值模拟方法; 在第3部分， 我们对数值模拟的结果进行展示并讨论; 最后， 对本工作进行总结.

2 数值模拟的设置

如前文所述， 在如图1所示的实验装置中， 强电流在激光与靶作用后几乎即刻便在线圈内部产生， 并在线圈周围产生磁场和等离子体. 由于这两个圆盘只起到产生自由电子和电势差的作用， 与磁重联并没有直接关系， 因此我们可以在数值模拟中将实验装置简化为两个U型载流线圈， 如图2所示. 模拟开始时， 两个平行线圈内电流在两线圈之间产生方向相反的磁场， 图2中的红色曲线即X-线， 表示了两个线圈电流产生的总磁场的零点所在的位置， 也是磁重联发生的区域; 此处的x、y、z均为无量纲化坐标(见2.1节描述)，位于x=0和y=0.1的两个不同颜色的平面将在稍后的内容中提到.

图2 在3维的数值模拟空间内设置的U型电流线圈， 红色曲线标示了线圈磁场的重联X-线. 其中蓝色截面为y = 0.1的zx平面; 红色截面为x = 0的yz平面.Fig.2 The U-type current-carrying coils profile in a 3D simulation box， and the red curve indicates the X-line of the total magnetic field created by the two current-carrying coils. The blue section is the zx plane of y = 0.1， and the red section is the yz plane of x = 0.

2.1 数值计算方法

我们对激光驱动亥姆霍兹线圈靶的磁重联实验进行了3维数值模拟， 其求解的带电阻的MHD方程组如下所示:

方程组中，ρ为等离子体密度，t为时间，v为等离子体速度，p为压强，J为电流密度，B为磁场强度，γ为绝热指数，μ0为真空磁导率.η为磁扩散系数， 其值由电导率决定:

在本工作的数值模拟计算中，η或者电导率σ都取为常数.σ的表达式为:

其中ne为电子数密度、e为电子电量、me为电子质量. 上式中τei为电子与离子碰撞的时间， 定义如下:

其中， Coulomb对数值ln Λ由等离子体温度和密度决定. 在本工作中， 根据Pei等[14]测量得到的实验中线圈周围等离子体温度和密度值分别约为T=106K和ne=1024m-3， 据此计算得到Coulomb对数值为ln Λ = 8.96. 由此计算出了数值模拟中所设置的磁扩散系数值为η=4.66 × 103cm2·s-1， 对应的电阻率为ηe=μ0η=5.85 × 10-7Ω·m.

数值模拟计算中重要物理变量均标准化为无量纲形式， 根据Pei等[14]文中所给出的相关物理量的参考值， 在我们的数值模拟计算中设置的磁场、密度、温度以及长度的特征值分别为B0= 2× 104G、ρ0= 2.34× 10-6g·cm-3、T0= 105K、l0=0.2 cm. 由此计算得到的速度、压强和时间的特征值分别为vA=3.68×106cm·s-1、p0= 3.18× 107g·cm-1·s-2以及t0= 5.43× 10-8s. 根据以上特征值可以得到无量纲化的磁场强度B′、等离子体密度ρ′、压强p′、等离子体速度v′、温度T′、电流密度J′分别为:

无量纲化的时间t′和空间坐标x、y、z与此类同， 也分别由它们对应的特征值计算得到.

我们采用MPI (Message Passing Interface)并行自适应网格细化程序(MPIAMRVAC[17-18])求解上述MHD方程. 在计算过程中， 采用了基于HLLC (HyperLogLog Counting)的近似黎曼解、重建程序中的3阶限制器[19]和3阶龙格-库塔时间积分的3阶有限体积空间离散化模型.

2.2 计算域与计算边界的设置

数值模拟的计算域为笛卡尔坐标系中尺寸为-0.65 ≤x≤0.65、-0.65 ≤y≤0.45、-0.65 ≤z≤ 0.65的空间， 模拟边界均为开放边界. 在Pei等[14]的实验中: 两个圆盘之间的距离为600 μm， U形线圈的截面厚度和宽度均为100 μm， 线圈之间的距离为600 μm，U形线圈的直线部分的长度为900 μm. 模拟中设置了与Pei等[14]所用相同的线圈参数:每个U型线圈由通过半径为0.15l0的半圆相连接的两个长度为0.45l0的直线段部分构成. 每个线圈的截面边长为0.05l0， 两个线圈之间的距离为0.3l0， 分别位于z=-0.15和z=0.15的平面内; U型线圈的半圆中心分别位于(0， 0，-0.15)和(0， 0， 0.15).

在数值实验中， 线圈区域为特殊计算边界， 其密度为5ρ0， 线圈表面等离子体向外膨胀速度为10vA. 我们通过设置该特殊边界磁场强度的方法来代替线圈内部初始电流， 这在一定程度上减少了计算量. 考虑了初始激光脉冲作用期间磁场强度的陡增，线圈表面磁场强度随时间变化曲线如图3所示， 磁场持续时间即为数值模拟的总时间0.2t0= 10.86 ns. 图中标识出了在后文分析中所选取的4个时刻. 线圈区域以外的模拟环境中初始磁场强度为0， 等离子体密度为0.01ρ0. 这使得模拟中磁重联所需的磁场和等离子体环境全部由线圈产生的磁场和等离子体提供.

与Pei等人的简单模拟相比[14]， 本文的工作将计算从2维截面扩展到了3维， 能够全面地研究亥姆霍兹电容线圈靶实验的磁重联过程.

3 数值模拟结果与讨论

在这一部分中， 我们用4个小节的篇幅对数值模拟进行描述与讨论. 由于本工作中数值模拟涵盖了包括线圈在内的整个3维空间， U型线圈的直线段部分和半圆部分的磁重联发生在不同的2维平面内， 我们在前两个小节分别展示了亥姆霍兹电容线圈靶直线段部分磁重联的演化情况(3.1节)和线圈半圆段磁重联的演化情况(3.2节)， 并对其展开了分析和讨论. 在此基础上， 在后两个小节中， 我们根据Pei等人的实验结果[14]， 将数值模拟结果进行了对比分析， 并讨论实验结果背后的物理图像.

3.1 线圈直线段部分的磁重联演化过程及其表现

为了了解线圈直线段部分的磁重联演化情况， 我们考察了不同时刻等离子体密度在图2所示y= 0.1的zx平面(见图2中的蓝色平面)上的分布情况， 如图4所示. 我们注意到， 在这个平面上， 磁重联发生在两个线圈之间的中点位置(z= 0的轴线上)，在t= 0.54 ns的演化初期， 等离子体由线圈表面均匀地向四周扩散， 这描述了实验初期线圈离化产生等离子体的过程. 当t= 1.62 ns时， 线圈周围扩散的等离子体已经充满了我们所感兴趣的区域， 但是此时磁重联作用时间太短， 使得我们在该时刻还无法观察到明显的出流结构. 当时间推进到t= 4.59 ns时， 在z= 0的方向上， 可以看到非常明显的磁重联痕迹; 而当t=7.02 ns时， 本工作中所考察的脉冲式磁重联过程已经接近尾声.

图4 等离子体密度在4个时刻(t = 0.54 ns、t = 1.62 ns、t = 4.59 ns和t = 7.02 ns)在图2所示的蓝色zx平面(y = 0.1)上的分布.Fig.4 The distribution of density in 4 selected times (t = 0.54 ns， t = 1.62 ns， t = 4.59 ns and t = 7.02 ns) at the blue zx plane (y = 0.1) shown in Fig.2.

为了对该平面内线圈直线段部分的磁重联进行更深入的分析， 我们将磁重联结构信息最为丰富的演化中期(t= 4.59 ns)的结果展示在图5中， 图5 (a)-(d)分别展示了该时刻密度、磁场x分量、速度z分量以及x分量的分布情况. 图5 (a)表明， 远离图像中心(x=0，z=0)的出流形成了离子体团状结构， 然而朝向这一点运动的等离子体出流会堆积在这个点周围， 集中分布在x轴附近. 图5 (b)展示了磁场的x分量Bx的分布， 从中可以看出相反方向的磁场在z=0附近的区域内相遇， 形成了细长的结构， 这应该是磁重联电流片所在区域. 图5 (c)展示了等离子体速度的z分量vz， 从中可以很容易看出磁重联入流区和出流区以及它们之间的边界: 在x轴左(z ＜0) (右(z ＞0))侧的入流区中， 我们发现vz ＞0 (vz ＜0); 而在x轴左(z ＜0) (右(z ＞0))侧的出流区当中，vz ＜0 (vz ＞0). 用以标识速度方向的颜色发生改变的地方正好就是两个区域的分界面. 根据该图所给出的结果， 还可以进一步估算上述过程的磁重联率， 可由入流速度与本地阿尔芬速度的比值计算得到. 我们发现， 在图5 (c)画叉标记的位置处， 即磁重联X-点， 其附近的磁重联率在0.1到0.4之间， 说明我们模拟中所发生的磁重联是快磁重联. 图5 (d)展示了等离子体速度的x分量vx， 其分布特征与图5 (a)展示的密度分布完全吻合， 说明图5 (a)中的纺锤形等离子体分布的确描述了磁重联外流区的形状， 磁重联过程将部分磁能转化成了等离子体的动能[7].

图5 在t = 4.59 ns时， 模拟中得到的各个重要物理参数在所截取的zx平面上的分布. (a)密度分布; (b)磁场x分量Bx;(c)速度z分量vz; (d)速度x分量vx.Fig.5 At t = 4.59 ns， the distribution of important physical parameters in the simulation on the intercepted zx plane. (a) distribution of the density; (b) the x component of the magnetic field Bx; (c)the z component of velocity vz; (d) the x component of velocity vx.

3.2 线圈半圆段部分的磁重联演化过程及其表现

为了研究在圆形线圈周围发生的磁重联过程， 我们在图6中给出了x= 0的yz平面(图2中的红色平面)上的密度分布. 这4个时刻与图5中的4个时刻完全一样， 在t=0.54 ns的演化初期图像中同样展示了等离子体由线圈表面均匀向四周扩散情况.在t= 1.62 ns的演化前期， 线圈周围扩散等离子在两线圈之间的中心位置碰撞， 形成z= 0轴线上的高密度区域. 并且， 此时在y≥ 0的区域内有大量等离子体堆积， 这是由线圈直线段的扩散等离子体在此平面内汇聚形成. 我们进一步发现， 在y= 0处(线圈直线段部分与半圆部分的衔接处)汇聚现象最明显. 与前面类似地， 我们在演化前期未看到明显的磁重联结构， 但是在t= 4.59 ns的演化中期图像中则可以在X-点周围从不同于图4的另外一个角度看到丰富的磁重联结构以及不同于前期的等离子体堆积. 到了t= 7.02 ns， 尽管磁重联过程还没有完全结束， 但是此时磁重联的重要结构已经离开了我们所关心的区域.

图6 等离子体密度在4个时刻(t = 0.54 ns、t = 1.62 ns、t = 4.59 ns和t = 7.02 ns)在图2所示的红色yz平面(x = 0)上的分布.Fig.6 The distribution of density in 4 selected times (t = 0.54 ns， t = 1.62 ns， t = 4.59 ns and t = 7.02 ns) at the red yz plane (x = 0) shown in Fig.2.

图7 (a)-(d)中分别展示了x= 0的yz平面内在t= 4.59 ns时刻的密度、磁场y分量、速度z分量以及y分量的分布. 在图7(a)所示密度分布中我们可以看到明显的向下出流等离子体结构， 它与从图5 (a)那个角度看到的结构形状有些不同. 另外， 我们在图7 (a)中用虚线标识出了线圈直线段部分在该平面内的投影， 可以发现， 大量的出流等离子体堆积在两个线圈之间的区域， 这恰好对应着前面所描述的中心堆积的出流等离子体. 在实验室的实验中很容易识别两个线圈之间区域内堆积的等离子体. 这与Pei等[14]实验中在相应区域中所观测到的等离子体在相同区域内堆积的结果一致. 图7 (b)展示的磁场y分量(By)的分布从另外一个角度标示了电流片的形状、位置和尺寸; 图7 (c)中所展示的等离子体速度z分量(vz)中显示出了磁重联入流区和出流区以及它们之间的边界， 同时也标示了电流片的位置. 图7 (d)展示了等离子体速度y分量(vy)， 其空间分布特征与图7 (a)展示的密度分布完全吻合， 说明图7 (a)下方、z=0附近的等离子体位于磁重联出流当中.

图7 在t = 4.59 ns时， 模拟中得到的各个重要物理参数在所截取的yz平面上的分布. (a)密度分布; (b)磁场y分量By;(c)速度z分量vz; (d)速度y分量vy.Fig.7 At t = 4.59 ns， the distribution of important physical parameters in the simulation on the intercepted yz plane. (a) distribution of the density; (b) the y component of the magnetic field By; (c)the z component of velocity vz; (d) the y component of velocity vy.

3.3 出流等离子体的堆积

为了在对比模拟结果和实验结果的基础上进一步探讨实验结果所描绘的物理图像、揭示其背后的物理本质， 我们将Pei等[14]图5 (a)和图5 (b)复制在本文的图8 (a)和图8 (b)当中. 图中透露出来的信息是这样的: 光线可以基本不受阻挡透过的地方是亮的， 而光线受阻、穿透不过的地方则是暗的. 线圈会阻挡光线的通过， 在等离子体密度大、堆积明显的区域， 光线的透过也有困难. 因此， 通过这两幅图中的明暗分布， 我们可以识别出线圈所处位置和等离子体明显堆积的区域. 图8 (a)展示了沿着z方向可以看到的与实验结果有关的图像. 我们注意到U-形阴影标识出线圈所在位置和大小， 线圈以外的地方， 除了箭头所指的区域内， 都是发亮的， 在箭头所指的那块狭长区域却是暗的. 因此， 那里是等离子体堆积的区域; 图8 (b)展示了沿着x方向可以看到的与实验结果有关的图像. 两条粗黑的阴影是两个平行线圈留下的， 而它们当中有一块暗黑的区域表明有等离子体堆积在两线圈之间. 这恰好是我们前面所揭示的在两个线圈之间的U-形X-线的内侧堆积的磁重联出流等离子体在实验结果中的体现(对照图2中的坐标系设置以及图4到图7中的模拟结果). 图8 (c)和图8 (d)展示了模拟结果中t= 8 ns (实验中有2 ns的延迟)时z=0与x=0的两个穿过线圈中心的正交平面上等离子体的分布， 其中深灰色的半透明区域标识了线圈在这两个平面内的投影位置. 通过对比可以看出磁重联出流等离子体堆积的现象在实验和模拟结果中表现一致.

在数值模拟所得到的两个平面中(图8 (c)和图8 (d))， 线圈中心区域堆积等离子体密度约为1.5ρ0， 其最高可达到2.5ρ0. 由此计算得到线圈中心的堆积等离子体数密度约为n= 2.1×1024m-3， 这与Pei等[14]工作中所测量得到的线圈周围电子数密度ne=1024m-3在量级上相符合.

图8 (a)和(b)为Pei等[14]实验中得到的10 ns时两个正交平面上的等离子体密度阴影图;(c)和(d)为t = 8 ns时z = 0与x = 0的两个穿过线圈中心的正交平面上等离子体的分布.Fig.8 Panels (a) and (b) are the shadow images of Pei et al.[14] experiment taken from two orthogonal planes at 10 ns; Panels (c) and (d) are the distributions of the plasma densities in two orthogonal planes through the center of the coil with z = 0 and x = 0 at the time t = 8 ns.

不过实验结果只显示出磁重联等离子体的堆积， 并不能展示堆积的过程和等离子体出流当中的精细结构. 在本文第1、2节中我们已经指出: 在t= 7.02 ns时大部分结构都已向外运动至较远的空间内， 离开了模拟区域或实验室中的可探测区域. 所以在实验中，每两次记录磁重联实验结果之间的时间间隔不宜选择得太长. 而Pei等[14]工作中得到这两幅阴影图的时间为在实验开始之后的t=10 ns时刻， 错过了磁重联过程动力学特征最为明显、结果最为丰富的时间段. 此外， 实验数据的空间分辨率不够也会使得有些精细结构没能分辨出来.

3.4 磁场和等离子体环境分析

Pei等人发现， 在他们实验所使用的线圈周围的磁场强度可达50 T， 相应的等离子体β= 0.016， 说明他们的实验是在低β环境中进行的[14]. 为了检验我们的数值模拟的磁场和等离子体环境， 我们在图9中再次给出t=4.59 ns时， 位于y=0.1处的zx平面上的密度分布(图9 (a))和相应的白线(x= 0.15)上的磁场(图9 (b))与等离子体β(图9 (c))的分布;以及位于x= 0处的yz平面上的密度分布(图9 (d))和相应的沿着白线(y=-0.15)的磁场(图9 (e))与等离子体β(图9 (f))的分布. 我们注意到线圈周围的磁场强度可达102T的量级， 离线圈越远磁场越弱. 而β值大致保持不变(约0.08-0.11)， 然后磁场强度出现陡降，而β值出现陡升(5-9). 这说明， 数值模拟中的磁重联也是发生在低β环境中， 其结果至少可以用来定性地帮助我们理解Pei等[14]的实验结果.

图9 (a) t = 4.59 ns时， y = 0.1的zx平面密度分布图; (b)图为沿(a)中所标识的白线(x = 0.15)上的磁场(单位: T)分布曲线; (c)图为沿(a)中所标识的白线(x = 0.15)上的等离子体β分布曲线; (d) t = 4.59 ns时， x = 0的yz平面密度分布图; (e)图为沿(d)中所标识的白线(y = -0.15)上的磁场(单位: T)分布曲线; (f)图为沿(d)中所标识的白线(y = -0.15)上的等离子体β分布曲线.Fig.9 Panel (a) at t = 4.59 ns， the density distribution of zx plane (y = 0.1); Panel (b) distribution curve of magnetic field (unit: T) along the white line (x = 0.15) marked in (a); Panel (c) distribution curve of plasma β along the white line (x = 0.15) marked in (a); Panel (d) at t = 4.59 ns， the density distribution of yz plane (x = 0); Panel (e) distribution curve of magnetic field (unit: T) along the white line (y = -0.15) marked in (d); Panel (f) distribution curve of plasma β along the white line (y = -0.15)marked in (d).

4 总结

针对Pei等人利用亥姆霍兹线圈靶进行的磁重联实验[14]， 我们利用大型开放MHD程序MPI-AMRVAC对该实验进行了3维MHD数值模拟， 详细考察了在实验室激光等离子体相互作用的时空尺度上发生的磁重联过程， 研究了该过程发生的周边环境， 探讨了其中磁场与等离子体的精细结构; 通过与实验结果的对比， 揭示了实验数据中包含的物理图像和规律， 本工作得到的主要结果如下:

(1)模拟线圈中的脉冲式电流在其周围会产生脉冲式的磁场， 与周围等离子体一同迅速向四周扩散， 相反方向的磁场相遇后很快发生磁重联， 整个过程在亚毫米级别的空间尺度和纳秒级别的时间尺度上发生， 说明MHD的尺度换算规律在这样的时空尺度上仍然适用;

(2)通过比对实验室数据， 合理安排数值模拟的周边环境， 使得在本工作中模拟的磁重联过程与实验室当中的磁重联过程都发生在低β环境当中， 因此模拟结果与实验室结果具有可比性， 有利于再现实验室结果的物理图像、揭示其物理内涵;

(3)实验室数据中最明显的结果就是在两个U-形线圈内侧的等离子体堆积. 在没有数值模拟结果比对的情况下， 难以确定这样的堆积就是磁重联导致的. 数值模拟表明， 磁重联过程中， 在图2所示的U-形X-线内侧的确有等离子体堆积. 说明实验室观测到的等离子体堆积的确是磁重联的结果;

(4)模拟结果中的一些精细结构和过程， 比如磁重联出流和磁场位形， 在实验结果里面没有体现出来. 分析实验室的探测手段发现， 这是因为探测手段的时间和空间分辨率不够所致. 在今后具有更高时空分辨率的探测条件下， 模拟中的精细物理特征应该可以在实验结果中显现出来.

致谢感谢中国科学院云南天文台计算太阳物理实验室的支持.